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陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
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 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
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A 回答 (3件)

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を


頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
偏微分について読み直して、
根本的な部分の間違いをさがしてみます。

あいまいな表現の質問に付き合っていただき
本当にありがとうございました。
またよろしくお願いします。

お礼日時:2007/04/07 21:55

「陰関数の定理」の証明を通読したとき、たいてい肩すかしを食らったみたいな感じがするようですね。


何の役に立つものやら。

使用例でもご覧ください。
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 http://ysserve.int-univ.com/Lecture/Optimization …
>陰関数定理とラグランジュ乗数
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制約つき極値問題解法の「道具」と書いてありますが、「踏み台」といった感じ。
LP(線形計画)でも「ラグランジュ乗数」を見かけたような覚えがあります。
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この回答へのお礼

陰関数の定理がどのように使われるか
教えていただきありがとうございます。
しかし、私はそれ以前に偏微分についてまちがった
解釈をしているようなのでそこからやり直そうと思います。
質問に付き合っていただきありがとうございました。

お礼日時:2007/04/07 22:00

要は


方程式 f(x,y)=0 が y=φ(x)という形に「解ける」ための
十分条件を明示しているんです.
#出所は
http://www.math.waseda.ac.jp/~shibata/papers/lec …
#ですか?

後半のφ'(x)に関しては,f(x,φ'(x))=0から自明なので,
陰関数定理の本質ではありません.

ぶっちゃけた話,ある変数yでの偏微分が0にならない点の
近くでは,y=φ(x) の形にすることができるということです.
注意しないといけないのは
「y=φ(x) の形にすることができる」からといって
具体的なxの関数で表すことができるとは限らないことです.

具体例を自分で考えてみてください.
絶対に「y=φ(x)」と表せない例だけあげておきます

f(x,y)=y^2-x^2 として,原点(0,0)の近傍では
f(x,y)=0はy=φ(x)とは表せません.

この回答への補足

解答ありがとうございます。
少しつかめてきたような気がします。

このなかで、
どうしてもこの定理の中でわからないことがあるのですが、
f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

補足日時:2007/04/07 01:40
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