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この手の問題は中学入試に出題されます。

たとえば攻玉社中学の今年の入試問題に
「１から２００２（今年が２００２年だから）までを掛けると０がいくつ並ぶか」つまり ２００２！にゼロがいくつ右につくかという問題が出ています。

中学入試は、算数の塾で講師をしているプロが問題を売り込むので、実はまったく同じ問題が、中学受験予備校で有名な日能研の今年の模擬テストに出題されています。

ちなみにこの問題の答えは以下のとおりです。／は整数系での除算（つまりあまりは無視）として、
２００２／５＝４００ ・・・(1)
４００／５＝８０ ・・・(2)
８０／５＝１６ ・・・(3)
１６／５＝３ ・・・(4)
(1)＋(2)＋(3)＋(4)＝４９９個です。問１も同様に２４個になります。

今の中学入試は中学から高校の数学の先取りになっており、こういう奇問が平気で出てきて、子供たちは数学の本質の理解をせずに機械的にこの手の問題を「処理」します。

ちなみに、ちょっと前に出ていた慶応女子校の問題も日能研の子供ならさっと解いてしまいます。

中学受験生の親より。

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〔問1〕
まず、100!を素因数分解しましょう。
　100！=2^a*3^b*5^c*7^d*11^e*… (a,b,c,d,e,…∈N、N:自然数全体)
2*5=10ですから、100!には2と5のペアの数だけ0が付くわけです。つまり、100!にはm個の0が付くとすれば、
　m=min(a,c)=c (∵a>c)
です。5の倍数は、
5,10,15,20,25,30,…
と自然数の数列の中で5つおきに並んでいますが、さらに5つおきに5^2=25の倍数が並んでいます。よって、5の倍数の数は、
　100/5=20
で20個、5^2=25の倍数の数は、
　20/5=4
で4個。すなわち、5の因数の数は、
　20+4=24
で24個です。ゆえに、
　100!には0が24個並ぶ … (答え)

〔問2〕
同様に、300!を素因数分解します。
　300!=2^a*3^b*5^c*7^d*11^e*…
すると、
　max(n)=b
です。3の倍数も3つおきに並び、さらに3つおきに3^2=9の倍数が、さらに3つおきに3^3=27の倍数が並びます。よって、3の倍数の数は、
　300/3=100
で3個、3^2=9の倍数の数は、
　100/3=33 余り1
で33個、3^3=27の倍数の数は、
　33/3=11
で11個、3^4=81の倍数の数は、
　11/3=3　余り2
で3個、3*5=243の倍数の数は、
　3/3=1
で1個です。すなわち、3の因数の数は、
　100+33+11+3+1=148
で148個です。ゆえに、
　max(n)=148 … (答え)

【注意】
xが変数のとき、max(x)はxの最大値を、a,bが定数のとき、min(a,b)はa,bのうち小さい方を表すとします。

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以下では問2を中心に解説しますが、
問1と問2は出題の表現が違うだけで、ほとんど同じ問題です。
「最後に0がいくつ並ぶか?」というのは、
「10で割っていって何回割り切れるか?」ということです。
「3^n(3のn乗)が約数となるような最大のnは?」というのも、
「3で割っていって何回割り切れるか?」ということですね。

ピンと来ないようなら、実際に計算してみれば良いのです。
とはいっても、100!とか300!といった
トテツも無く大きい数を目の前にすると、
どうしていいか分からなくなってしまいますね。

こういうときは問題を勝手に縮小して実験することが大切です。

ここでは「10!」くらいで試してみましょう。
10! = 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
であり、これくらいなら計算しようと思えばできますね。
10! = 3628800 となります。

この数を3で割っていくと
3628800÷3 = 1209600
1209600÷3 = 403200
403200÷3 = 134400
134400÷3 = 4880
これ以上は割り切れませんから、
「3で割っていって4回までは割り切れる」
ことが分かります。

この結果を、上のように実際に割り算するのでなく、
もっと効率的に求めることができれば、
300!の場合にも応用できるはずです。

10!を素因数分解すると、
10! = 1×2×3×(2^2)×5×(2×3)×7×(2^3)×(3^2)×(2×5)
= (2^8)×(3^4)×(5^2)×7
となります。これを見れば、
「3で4回まで割り切れる」ことは一目瞭然ですね。
10!の中には「3,6,9」と3の倍数が3個あり、
さらに9はもう一度3で割り切れるので、合計4個含まれるわけです。

例えば30!であれば、
3の倍数は10個[3,6,9,12,15,18,21,24,27,30]あり、さらにそのうち
9の倍数は3個[9,18,27]あり、さらにそのうち
27の倍数は1個[27]ありますから、
全部で3が14個含まれています。

○○●○○●○○●○○●○○●○○●○○●○○●○○●○○●
○○○○○○○○●○○○○○○○○●○○○○○○○○●○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○●○○○

では、いよいよ「300!」ではどうか？
1から300までの整数の中には、
3の倍数は100個あり(300÷3 = 100)、そのうち
9の倍数は33個あり(300÷9 = 33 余り 3)、そのうち
27の倍数は11個あり(300÷27 = 11 余り 3)、そのうち
81の倍数は3個あり(300÷81 = 3 余り 57)、そのうち
243の倍数は1個あります(300÷243 = 1 余り 57)。
したがって300!は
100 + 33 + 11 + 3 + 1 = 148回、
3で割り切れることになります。

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問2は、300!=3^n*M(Mは整数)となる訳ですよね。てことは、300!を素因数分解したとき、
300!=2^(a2)*3^(a3)*5^(a5)*7^(a7)…
となるので、このa3を求めればいいわけです。3がいくつあるかということですよね。すると、3の倍数を探すと3,6,9…300と100個あります。ところが9,18,27…は3*3*n(n:整数)ですからもう一度数えなければならない。そしてまた27,54,81…は3*3*3*nですからまたまた数えなければならない…というようにして行くわけです。

説明上手くないですがこんなんで分かってもらえたでしょうか？

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morion2さんのNo.1で、25,50,75を数え忘れですね。
21+3で24個です。接頭辞Yotta(10^24)ですか…

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問２
３の倍数の個数（３、６、９・・３００）１００個
９（3^2）の倍数の個数（９、１８，２７・・・２９７）３３個
２７(3^3)の倍数の個数（２７、５４、・・・２９７）１１個
８１(3^4)の倍数の個数（８１、１６２、２４３）３個
２４３(3^5)の倍数の個数（２４３）１個

合計１４８

答え１４８　かな？

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問１　（１０，２０、・・・１００の１０個（０は１１個）　と　
　　　（５、１５、・・・９５の１０個が偶数と掛け合わされたとき１の桁が０に　　　なるので２１個ですかね。

問２　？

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