退職の際の社会保険・雇用保険手続きについて - 転職 - 教えて！goo

「それから５月１８日に退職してから、次の会社に就職するまで数日あるようですが、この期間は必ず役所に行って国民年金に加入しておいた方がいいですよ！」
これは、間違いです。
月末時点で、どの種類の年金に入っていたか？が問題になります。
年金は加入日数ではなく、加入月数で計算しますので、このようなことになります。
年金支給が「月額標準報酬」で決定されることもあるのでしょうね。

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＞自分で5月21日までに社会保険・雇用保険の手続きを終えたい

残念ながらご自身で各種保険の資格喪失（退職）手続きをすることは出来ないと思われます。普通、退職日の翌日以降にそれらの届出をしますから、たとえ質問者様が人事業務に携わっていたとしても無理です。

外注で、かなり遅くなるというのがどの程度なのかわかりませんが、
転職先がすでに決まっているのなら、手続きが1ヶ月程度遅くなったとしても、ご自身や転職先に具体的に損が発生するわけではありません。
（転職先の雇用保険の被保険者資格取得手続きがしばらく出来ないということが考えられますが、これについては転職先に一言「前会社の手続きが遅いので」と了解してもらいましょう。質問者に責任はありません）
19、20日の国民健康保険への加入手続きを気にしているのなら、離職票や資格喪失確認通知書に代わる「退職証明」を現会社に交付してもらうとか、他に方法があると思いますので、国保の窓口に相談してみてください。

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キチンとした会社であれば、退職日に社会保険の離脱証明等いただけるのでしゃないでしょうか？事前にその旨の連絡があなた宛に来るはずです。もし５月になっても何も言われないようなら、次の就職先がもう決まっていて、現在の会社の手続きを早々に終わらせたいので、と問い合わせてみたらどうですか？
それから５月１８日に退職してから、次の会社に就職するまで数日あるようですが、この期間は必ず役所に行って国民年金に加入しておいた方がいいですよ！未加入期間があると今後不利になると思います。私が会社の総務にいたときは必ず退職する方にそう話していました。
年金手帳はこれからもずっと使用する機会があると思うので、大事に保管してください。先ほど話した国民年金に加入するのは、新しい職場に就職してから後日手続きしても大丈夫です。手続きは新しい職場の社会保険等の手続きを優先した方がいいと思います。

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社会保険:保険証を返すだけ後は次の会社が処理してくれます（放置でいいです）

雇用保険：失業保険証書を貰って次の会社に渡してください。手帳のような形です

年金証書：貰ってなければ受け取ってください。
すでに貰っているのなら大切に保管しておいてください。

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