バナッハ空間

AからBへの写像全体の集合F(A,B)と表記する。
今Sを集合、Xをバナッハ空間とし、
Fb(S,X)={u∈F(S,X)|sup(t∈S)||u(t)||_X < ∞}と定義する。
||u||=sup(t∈S)||u(t)||_X
このときFb(S,X)はバナッハ空間であることを示せ。

バナッハ空間の定義は完備なノルム空間であることで、
ノルム空間であることは示せたのですが、
完備であることがわからなくて…。
どのように考えればいいのでしょう？

なおノルム空間であることの証明は以下のようにしました。
(i)||u||の定義より正値性は明らか。
(ii)|α|sup||u(t)||=sup||αu(t)||は上限の定義より成立。
(iii)三角不等式は||(u+v)(t)||_X≦||u(t)||_X+||v(t)||_X
≦||u||+||v||
よって||u+v||≦||u||+||v||

No.2 回答者： kazuma1956 回答日時： 2013/09/23 21:31

すでに最初の回答者の示唆と、質問した方自信の記述した式で、証明はおわったような

ようなものですが、一応証明したものを以下にコピーしておきます。
普通のテキストにするのが、困難だったので、TeXのファイルをCopy&Pasteしました。
一ページ目の画像も添付します。

%% LyX 2.1.0beta1 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[english]{jarticle}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{claim}{\protect\claimname}

\makeatother

\usepackage{babel}
\providecommand{\claimname}{Claim}
\providecommand{\theoremname}{Theorem}

\begin{document}

\title{ある線形空間の完備性について}
%\maketitle
\begin{thm}
ある線形空間の完備性について
\end{thm}
\begin{equation}
F(A,B):=\{f\,|\, f:A\to B\}
\end{equation}
を、AからBへの写像からなる集合とする。
\begin{equation}
F_{b}(S,X):=\{u\in F(S,X)\,|\,\sup_{t\in S}\|u(t)\|_{X}<\infty\}
\end{equation}
\begin{equation}
\|u\|:=\sup_{t\in S}\|u(t)\|_{X}
\end{equation}
は、バナッハ空間である。
\begin{claim}
$F_{b}(S,X)$がノルム空間であることは分かっているものとする。この空間コーシー列が$F(S,X)$の元に収束する事をしめす。\end{claim}
\begin{proof}
$\{u_{n}\}$を $F_{b}(S,X)$のCaichy列とする。

$t\in S$を固定したとき、$\lim_{m,n\to\infty}\|u_{m}(t)-u_{n}(t)\|_{X}=0$
となる。

X はBanach空間であるから、$u(t)\in X$ が存在して、$\lim_{n\to\infty}=u(t)$となる。

$u\in F(S,B)$であることは明確である。

\begin{equation}
\|u(t)_{m}-u_{n}(t)\|_{X}=\|u(t)-u_{n}(t)\|_{X}+\|u(t)-u(t)_{m}\|_{X}
\end{equation}


左辺のtを動かして、上限をとると

\begin{equation}
\|u_{m}-u_{n}||\geqslant\|u(t)-u_{n}(t)\|_{X}+\|u(t)-u(t)_{m}\|_{X}
\end{equation}
$\{u_{n}\}$が $F_{b}(S,X)$のCahchy列であるから、任意の$\varepsilon>0$に対して、$t\in S$に依存しない$N$が存在して、$n,m\geqslant N$
のとき

\begin{equation}
\|u_{m}-u_{n}||<2\varepsilon
\end{equation}
である。

（５）、（６）より

\begin{equation}
\|u(t)-u_{n}(t)\|_{X}+\|u(t)-u(t)_{m}\|_{X}<2\varepsilon
\end{equation}


とくに$m=n\geqslant N$とすれば、

\begin{equation}
2\|u(t)-u_{n}(t)\|_{X}<2\varepsilon
\end{equation}


左辺のtについての上限をとれば、

\begin{equation}
2\|u-u_{n}\|<2\varepsilon
\end{equation}


したがって$F_{b}(S,X)$のCahchy列$\{u_{n}\}$は、$F_{b}(S,X)$のノルム$\|\cdot\|$で$u\in F(S,B)$に収束することが分かった。\end{proof}
\begin{claim}
$u\in F_{b}(S,B)$つまり、$\sup_{t\in S}\|u(t)\|_{X}<\infty$ であることを示す。

すでに$\|u_{n}-u\|,\|u_{n}-u_{m}\|<L<\infty$ であることは分かっている。$(m,n\geqslant N)$

\begin{equation}
\|u(t)\|_{X}\leqslant\|u(t)-u_{n}(t)\|_{X}+\|u_{n}(t)-u_{m}(t)||_{X}\leqslant\|u-u_{n}\|+\|u_{n}-u_{m}\|\leqslant2L
\end{equation}


であり、左辺のtに関する上限をとって、$\|u\|<\infty$、つまり$u\in F_{b}(S,B$) であることが証明された。\end{claim}

\end{document}

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2007/04/24 10:08

Fb(S,X)のコーシー列｛ｆ［ｎ］｝について考察

Ｓの点ｓを固定
すると｛ｆ［ｎ］（ｓ）｝はコーシー列
｛ｆ［ｎ］（ｓ）｝はＳに含まれ
Ｓは完備だからこの列の収束先ｘが存在
Ｓの任意元ｓに対してｘを対応させる写像をｆとする
｛ｆ［ｎ］｝がｆに収束する理由を補足せよ