幾何分布と指数分布の関係

Question

確率変数Xが平均λ＾-１の指数分布に従っているとする。実数xに対して[x]をxを超えない最大の整数と定義して、整数値のみをとる確率変数Y=[X]はどんな分布に従うかを考えるときに
指数分布は幾何分布の連続版のようなものだと聞いたことがあるので幾何分布になるのだろうと思いますがこれはどのように説明したらよいのでしょうか？？またそのときパラメータｐはどのようになるのでしょうか？？教えてください。

zk43 · Accepted Answer

確率変数Xの確率密度関数は、
f(x)=λe^(-λx)（x>0)、0（x<0)

P(Y=n)=P([X]=n)=P(n≦X＜n+1)より、
P(Y≧n)=P(Y=n)+P(Y=n+1)+…
=P(n≦X＜n+1)+P(n+1≦X＜n+2)+…
=P(X≧n)=∫(x=n→∞)λe^(-λx)dx=e^(-λn)
よって、
P(Y=n)=P(Y≧n)-P(Y≧n+1)=e^(-λn)-e^(-λ(n+1))
=e^(-λn)(1-e^(-λ))={e^(-λ)}^n(1-e^(-λ))
したがって、p=e^(-λ)とみれば、これは、パラメータpの幾何分布と
考えられます。
（成功確率がpの試行を繰り返すとき、n回連続で成功し、n+1回目に
失敗する確率）

zk43 · Answer

私は長年、確率統計を使う仕事に携わっていますので、この手の問題は
割とすぐにわかります。

万人にとって適切な教科書・勉強法があるとは思えませんが、私が大学
時代に使ったのは、
教科書
「Probability An Introduction(Oxford Science Publications)」
洋書ですが読みやすく、基本理論がよくわかり、私は非常に気に入って
います。
演習書
「明解演習　数理統計（小寺平治）」
平治親分の明解演習シリーズは有名です。
「確率統計演習（国沢…）」なくしたので正確には忘れた。
最近買ったのは、トピック風なもので、
「確率論へようこそ（シュプリンガー・数学リーディングス）」
これは問題の考え方が非常に斬新です。ちょっと難しいかも。

勉強法としては、個別の問題をたくさんやるのは良いですが、一般的な
法則として整理して他の問題にも応用できるようになれば良いですが、
そうでなく勘でやっているだけではその場限りになってしまうので、ま
ずは一般的な基礎理論をしっかり勉強しないといけないと思います。
確率論でいえば、試行、標本空間、事象空間、確率測度といった確率空
間の構築から始まって、様々な分布や、分布関数と確率関数・確率密度
関数の関係などの一般理論を一通りみっちりやる必要があると思いま
す。
この問題でいえば、確率関数と分布関数の関係から容易にやり方がわかります。
そして、一般理論をやりながらも、具体的な問題と照らし合わせて、
イメージを作りあげるとよいと思います。そして、具体的な問題をやる
ときも、常に一般理論と照らしわせて考えると良いと思います。
（その問題を解くのに、どのような一般理論を適用したか。）
また、確率論をやる下地として、集合論とか、ある程度の微積分の計算
はできないといけませんね。
このサイトを見ていても、ただその場限りでクイズのように考えている
ものとか、集合の考え方を知らないだけとか、単に計算ができないだけ
とかが多い印象を受けます。
（あまり偉そうなことを言うのは嫌ですけど…）

あと、パソコンで計算したりとか、サイトを見るとかしていても意外と
身に付かないものなので、とにかく紙に書いて考える、という方が良い
と思います。分からなくても、紙に書き写してみると意外と分かってく
るということがあります。写経みたいなもんで。。。

incd · Answer

平均がλ^(-1)ってことは、Xの密度関数は
f(x) = λ e^(-λｘ) ですね。

Yの確率関数を求めるにあたり、次のように考えます。ある非負の整数ｙについて、
Ｙ＝ｙ ⇔ ｙ≦Ｘ＜ｙ＋１

したがって、
y = 0,1,2,...について
Pr（Ｙ＝ｙ）＝∫f(x) dx,  ただし積分の範囲は[y,y+1)です。
計算間違いが無ければ
Pr(Y=y) = －e^[-λ(y+1)] + e^[-λy]
になると思います。
幾何分布ではない。。。と思ったら、
Pr(Y=y) ＝ －e^[-λ(y+1)] + e^[-λy]
　　　　＝ [e^(-λ)]^y [１－e^(-λ)]
　　　　＝ [１－｛１－e^(-λ)｝]^y [１－e^(-λ)]
と書けるので、
Ｙ＋１が、ｐ＝１－e^(-λ)　の幾何分布にしたがっている、のかな。幾何分布は０をとりませんからね。

幾何分布と指数分布の関係

確率変数Xの確率密度関数は、

私は長年、確率統計を使う仕事に携わっていますので、この手の問題は

平均がλ^(-1)ってことは、Xの密度関数は

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