部分空間の証明

Sを距離空間、Yをノルム空間とし、SからYへの連続写像全体の集合をC(S,Y)で表す。また、Cb(S,Y)=Fb(S,Y)∩C(S,Y)と置く。
ただし、F(S,Y)はSからYへの写像全体の集合で、Fb(S,Y)={u∈F(S,Y)| sup(t∈S)||u(t)||_Y<∞}でとします。
この時Cb(S,Y)はFb(S,Y)の閉部分空間であることを示せ。

定義として
Xの部分集合YがXの部分空間である
⇔∀u,v∈Y,∀α,β∈Kに対してαx+βy∈Y

まず感覚的にですが、Cb(S,Y)⊂Fb(S,Y)なので部分集合であることはOK
後は∀u,v∈Cb(S,Y)、∀α,β∈Kに対してαx+βy∈Cb(S,Y)を示す。

u,v∈Cb(S,Y)よりx,y∈Fb(S,Y)
任意のt∈Sに対して、
||(αu+βv)(t)||=||αu(t)+βv(t)||
≦||αu(t)||+||βv(t)||=|α|*||u(t)||+|β|*||v(t)||
≦|α|sup(t∈S)||u(t)||+|β|sup(t∈S)||v(t)||
となるので有界であることは示せました。

後は連続性と閉集合であることを示したいのですが、
これはどのように示せばいいのでしょうか？
連続写像の和、スカラー倍は確かに連続写像となることは、
集合と位相あたりの本に書いてあったような気がしましたが…。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/05/12 09:38

部分集合，有界であることの証明は問題ないです

＃x,yは不要ですけど，たんなるTypoでしょうから

連続性は・・・これが示せないのはちょっとまずいですよ．
「u,vが連続ならばαu+βvも連続」
相手がノルム空間とか距離空間なので
普通のεδ，つまりRのときと同じです．

閉集合かどうかですが，
F(S,Y)とかには普通にsupノルムで距離とか位相が
入ってるのでしょうから，
この手の議論のときは，点列で示すのが定石です．
つまり，

Cb(S,Y)の収束点列{fn} (fに収束するとする)をとると
fはCb(S,Y)に属する

ってことを示すということで，
fの有界性とfの連続性を示します．