スモールオーoとラージオーOにおいてo(x^n)とO(x^n+1)が対等のような書き方の本がいくつかありますが、nとn+1の違いをつけると何故これらが対等になるのかがわかりません。どなたかご存知の方はお教えください。

A 回答 (2件)

siegmund です.



> 7行目のnとn+1はケアレスミスですね。
しまった,おっしゃるとおりです.
「O(x^(n+1)) と o(x^n) とは同じ意味になります」
と訂正してください.
気がついてくださってよかった.

ランダウの記号の本来の意味は,お礼で書かれているとおりです.
私が前に出した,
「x→+∞ のとき,log x = o(x)」
という例ですと,(log x)/x → 0 (as x→+∞) になっています.
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この回答へのお礼

有り難うございました。勉強になりました。

お礼日時:2002/07/05 20:10

ご質問の内容はべき展開の話のようです.


この場合,ランダウの記号は
o(x^n) は,x^n より高次の項,
O(x^n) は高々 x^n の次数の項,
という意味です.
x^n の次の項は x^(n+1) ですから,
o(x^(n+1)) と O(x^n) とは同じ意味になります.

なお,べき展開でないときには同じ意味とは限りません.
x→+∞ のとき,log x = o(x) ですが,
log x = O(x^0) = O(1) ではありません.

所詮,物理屋の数学ですから,細かいところは穴があるかもしれません.
(そもそも,細かいところ,というセンスがいけないのかも).
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この回答へのお礼

siegmund先生、ご回答有難うございました。良くわかりました。7行目のnとn+1はケアレスミスですね。数学記号の本には、f(x)/g(x)→0ならばf(x)=o(g(x))つまり、「f(x)の方がg(x)よりも速く0に近づくということだそうです。他方、f(x)=O(g(x))とは、x=0の近くである数Kに対して|f(x)/g(x)|<Kとなるときだそうで、f(x)の方がg(x)よりも0に近づくのが速いかそれとも同程度であることを示すそうです。それで、

e^x=1+x+(1/2!)x^2+o(x^2)
e^x=1+x+(1/2!)x^2+O(x^3)となるようです。

お礼日時:2002/06/27 10:14

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