excelでのフーリエ変換の意味

EXCELである離散データに分析ツールでフーリエ変換をかけると、データ個数の半分の値を中心とした左右対称のスペクトルが現れます。
右半分のデータは不要とどこかのＨＰに書いていましたが、何故不要で、何故左右対称で現れるのでしょうか？
また、同じ周期のデータ（T=1000sec）をデータ数を変えてフーリエ変換すると何故ピークの現れる周波数やピーク値が変わるのでしょうか？
ピーク値が表す意味もわかりませんが、どのくらいのピークが現れるとこのデータは周期的な成分を持っていると言えるのでしょうか？
フーリエ変換について理解する前に質問してしまっていますが、全く理解できない為、このような質問になってしまい、申し訳ありません。

No.4 ベストアンサー 回答者： masudaya 回答日時： 2007/05/21 10:46

＞膨大なデータからどのデータが周期的なデータを含んでいるかを判断したいので何か指標とできる値があれば

というのであれば,例えば,すべてのデータのパワーみたいなもの(単純には2乗和)と,ピークが出た周波数のパワーの比(複数ピークがある場合はパワーの和)を取れば,どれが,周期性を強く持っているか議論できるのではないでしょうか.

もう少し，最初の質問内容を工夫すれば,(補足で書かれたような内容にすれば)一度の回答ですむのではないかと思います.

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
言われる通り、最初の質問をきちんとすれば良かったです。すみませんでした。

お礼日時：2007/05/22 19:02

No.3 回答者： inara 回答日時： 2007/05/17 19:47

ピークの対象性の回答はすでに出ているので、FFT演算後の数値に意味についてコメントします。

時間間隔をΔt [s] として取った波形 A(1)～A(N) をExcelのFFTにかけて、B(1)～B(N)というデータ列（複素数です）が得られたとき、B(1)に対応する周波数 f1 [Hz]は、f1 = 1/(N*Δt)、B(2)の周波数は f2 = 2/(N*Δt)、・・・、B(N)の周波数は fn = 1/(Δt) となります。つまり、B()はf1～fnまでの周波数に対応した複素振幅の値です（その対値を計算すれば普通の振幅の意味）。

例えば、Δt = 1ms でとった1024点からなる波形をFFTにかけたとき、周波数範囲は 1/1.024 Hz、2/1.024 Hz、・・・、1000 Hz になります。波形取り込み時間(N*Δt)が 1s なら f1 = 1Hz から 1Hz きざみのスペクトルになります。0.1Hzの分解能のスペクトルを得たいのなら、10秒間の波形データを取る必要があります。一方、最大周波数は、1/Δt ですので、10kHzまでのスペクトルを得たいのなら、Δt = 0.1 ms とする必要があります。

FFTだと N が2の倍数しか許されないので、(N*Δt)を 1s にしようとすると、Δt がキリのいい数値になりません（N = 1024 だと Δt = 1/1024 [s]）。私個人としては、そういうのが気に入らないので、FFTでなくDFTを使って、N = 1000、Δt = 1ms とか、キリのいい数値にして計算したりします（N が10000未満ならExcel VBAで DFT 計算させてもそんなに時間がかからないので）。趣味の問題ですが。

Excelの分析ツールのフーリエ変換の結果は複素数で出てきますので、関数 IMABS(FFT後の数値）で絶対値に変換すれば振幅スペクトルになります。振幅をdB単位で出したいなら20*log10(IMABS(FFT後の数値)）としてください。

No.2 回答者： masudaya 回答日時： 2007/05/17 18:25

離散フーリエ変換をする場合,サンプリング周波数の半分の周波数までの解析までしか出来ません.(サンプリング定理)それ以降の周波数はサンプリング周波数の半分の周波数からの折り返しになります.例えば,1MHzでサンプリングしている場合.0.9MHzの信号を入れると,(エクセルで試してみてください.)サンプリングした値は0.1MHzの信号をサンプリングしたものと同じになります.このため,左右対称になり,右半分は不要となります.

エクセルでフーリエ変換したこと無いので良く知りませんが,サンプリング周波数なり,サンプリング時間(サンプリング周波数の逆数)を入れる項目はありませんか？
無い場合はサンプリング時間がいくらの場合と言う風に決まっているのかと思います.この場合はサンプリング時間から実際の周波数になるように変換が必要です.

データ点数は,周波数の分解能を示しているので,分解能をあげたいのであれば,'0'を沢山データにつけて解析したりしています.

最後にピークですが,フーリエ変換を学ぶと分かるのですがフーリエ変換とは,波形の正弦波分解です.ですので,ピークがあれば,その周波数成分は含まれることになります．

しかし実際に使いこなすにはフーリエ変換や離散フーリエ変換を学ぶ必要があります.フーリエ変換は応用範囲が広いので,学んでいて損は無いと思います.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
エクセルでフーリエ変換すると初めのデータから最後のデータまでで１周期と考えるらしく、周波数は「１／（データ数*秒換算）* t」となります。
サンプリング定理により半分のデータしか使えないことについて教科書を読んできちんと理解します。ありがとうございました。
ピーク値は解析データによりマチマチで、多分振幅が大きくなればピーク値も大きくなるということは結果から読み取れますが、膨大なデータからどのデータが周期的なデータを含んでいるかを判断したいので何か指標とできる値があればと思ったのですが。（まず自分で勉強してみますが。。。）ちなみに解析データは温度データです。レンジ１００℃で±１０℃で周期的に振幅するときにピークは２とか出ます。
もし簡単に説明がつくことなら教えて頂けませんか？勿論勉強はします。

補足日時：2007/05/17 19:16

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2007/05/17 17:10

あなたが理解しているフーリエ変換の定義式を補足に書け