また確率の話ですが・・

３つ質問があるんですが、できれば中学レベルまでの数学で計算できればその方法と、特殊な記号など用いる場合にはその記号の意味や考え方なども合わせて教えてくれると嬉しいです。

1：1/100で当たる抽選で、100回抽選をして1回以上当たる確率とその計算方法はわかりました（約63％）。では、同じ条件で100回中3回「だけ」当たる確率はいくつになるんでしょうか？
考え方としては、単純に100回中97回はずれを引く確率・・と考えて良いんでしょうか？つまり99/100の97乗？なんだか自信がないような気がします。

2：上記と同じ条件で、100回中1回「だけ」当たる確率の計算方法は？
自分で考えてみると、
99/100＾99＝約37％　これで合ってますか？でもこれだと、100回中1度も当たらない確率（99/100＾100）とほとんど数値が変わらないという事になり、おかしいような気もします。
あるいは、
1-（全てはずれの確率＋2回以上当たる確率）じゃないかと思うんですが、これだと計算がややこしい気がします。

3：100枚中1枚が当たりのくじ引きで、１回引くごとに残りのくじが減っていく場合に、はじめにくじを引く人の当選確率は1％（1/100）のはずですが、2番目、3番目・・最後に引く人・・の当選確率も、皆一様に1％でしょうか？
計算してみると、
2番目にくじを引く人の当選確率は、99/100×1/99＝1/100、おや？
3番目の人の場合は、99/100×98/99×1/98＝1/100、まさか！
この考え方でいくと、最後にくじを引く人の当選確率も1/100になります。という事は、くじびき会場で人がたくさん並んでいても、先頭にいようが最後尾にいようが（くじが空っぽにならない限り）当選確率は同じだという事ですよね。ずる込みする奴は、色んな意味でバカだと（笑）これで合ってますか？たくさんあってすみませんが、よろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/13 19:22

　＃５です。

　お礼をありがとう。

＞ところで問題２のアドバイスについてなんですが、
＞もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれ＞ば、1回も当らない確率（＝(49/50)^100）と1回しか当らない確率
＞（＝(1/50)(49/50)^97・100）は違う数字になってきます。
＞のココ↑の部分は、（1/50）（49/50）＾99・100の間違いじゃないですか？

　ご指摘の通り、誤記です。ごめんなさい。
　質問者さんの式が正しいです。

＞それと、もし組み合わせを考慮しないで計算した場合に出る数値は、どんな場合の数なんでしょうか？

　組み合わせを考慮しない場合の組み合わせの数は、1通りですから、その場合の確率は、
　　(1/50)(49/50)^99×１＝0.00271　（約０．３％)
となります。

＞たとえば、1/100＾3・99/100＾97と計算すると、最初の3回連続であたりを引き、のこり９７回連続ではずれた場合の確率になるんでしょうか？この場合、この順序に固定されているんですか？

　そうです。
　1/100＾3・99/100＾97の確率は、どこで当るかがあらかじめ決められたもので、例えば、質問者さんの最初の３回連続でというのもそうですし、最後の３回連続で、２回目－５０回目－７２回目　などという当たり方でも同じ確率になるということです。
　ですから、単に３回当る確率を求める場合には、その当たり方が何通りあるかを勘定して、掛け合わせなければならないのです。
　なお、この考え方については、数学でも「組み合わせ」と呼ばれるものですので、さらにお知りになりたいときは、この言葉で検索されるとよいかもしれません。
　下記に１例を張っておきますので、良ければ参考にしてください。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakur …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E3%81%BF% …

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/06/13 15:06

Ｎ分の１で当たるくじをＮ回引くとどうなるか？

計算は簡単ではありません。
実は、Ｎが１０であろうと、１００であろうと、１０００であろうと、あまり違わないのです。０回あたる確率も、１回当たる確率も、ほとんど３６.８％で、これはｅ（＝2.71828...）の逆数です（中学ではちょっとムリかも）。大学の理工系なら「ポアソン分布」として習うでしょう。
最初に研究したのは、オイラーで、Ｎ個の封筒にＮ個の手紙を入れたらどうなるか？と考えました。ポアソンは、馬に蹴られて死ぬ確率を考えた末に、理論を編み出しました。

行列に割り込むとどうなるか？
割り込んだ人も、割り込まれた人も損得はありません。よく「クジを引く順番を決めるクジを引く」ようですが、数学的にはナンセンスです。もっとも、割り込むと、それだけ家に早く帰れるというメリットはありますが。

参考URL：http://okwave.jp/qa3041450.html

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/13 04:24

１．100回中3回「だけ」当たる確率は、

　　（３回当る確率）×（９７回外れる確率）×（３回当る組み合わせの数）
で考えます。
　この中で、（３回当る確率）と（９７回外れる確率）は、質問者さんはもうご存知だと思いますが、
　　（３回当る確率）　　＝(1/100)^3
　　（９７回外れる確率）＝(1-1/100)^97
となります。

　ところで、（３回当る組み合わせの数）は、１００回くじを引く中で何回目に当たりを引くかという場合の数を求めることになります。
　１個目の当たりを引く場合の数は、１番目から１００番のうちのどれでもいいですから、１００通りあります。
　次に、２回目の当たりを引く場合の数は、既に１回目に当たりを引いた残りの９９回のうちのいずれかですから、９９通りになります。
　さらに、３回目の当たりを引く場合の数は、前の１回目と２回目で当った順番は除外されますので、９８通りになります。
　そこで、これらの場合の３つの数を掛け合わせれば（３回当る組み合わせの数）が求められそうに思いがちですが、ここで一つ注意が必要です。
　この数え方の中には、当る組み合わせの数が重複して勘定されています。例えば、当った回数を順番に次のように書いて見ますと、
　１－５－２１、１－２１－５、５－１－２１、５－２１－１、２１－１－５、２１－５－１
と表すことができますが、これらは実はすべて同じ組み合わせになっています。（当たりくじを何回目に引いたかは、これらのうちの最初の昇順になったものしかありえませんから。）
　そこで、この重複分を計算しますと、３×２×１＝６　通り　になっていますので、この数を全体の場合の数から割ってやれば、（３回当る組み合わせの数）が求められることになります。

　（３回当る組み合わせの数）＝１００×９９×９８÷（３×２×１）＝161,700

　以上のことをまとめると、100回中3回「だけ」当たる確率は、次のように求められます。

　　（３回当る確率）×（９７回外れる確率）×（３回当る組み合わせの数）
　＝(1/100)^3×(1-1/100)^97×(100×99×98)／(3×2×1)
　＝0.0610　（約６．１％）

２．100回中1回「だけ」当たる確率の計算も、１．項と同じ考えて求めることができて、結果は質問者さんの通りです。

　　（１回当る確率）×（９９回外れる確率）×（１回当る組み合わせの数）
　＝(1/100)^1×(1-1/100)^99×100
　＝0.370　（約３７．０％）

　ちなみに、（１回当る組み合わせの数）は、1番目から100番目のうち何回目に当るか、その場合の数を数えていますので、ちょうど100通りになることから、上の式のように計算できます。


＞99/100＾99＝約37％　これで合ってますか？でもこれだと、100回中1度も当たらない確率（99/100＾100）とほとんど数値が変わらないという事になり、おかしいような気もします。

　このケースでは、1回も当らない確率と1回しか当らない確率とがたまたま近い確率になったケースなので、違う事象が同じ確率になることもなくはありません。
　もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれば、1回も当らない確率（＝(49/50)^100）と1回しか当らない確率（＝(1/50)(49/50)^97・100）は違う数字になってきます。

３．100枚中1枚が当たりのくじ引きで当る確率は、質問者さんの考えどおり、みな同じ確率で　1/100　です。
　計算の仕方も、まさにその通りで結構ですよ。
　ですから、この場合のクジには、引く順番で当る確率が変わったりはしないのです。

この回答へのお礼

なるほど・・詳しい説明、ありがとうございます。たしかに中学レベルの数学ですが、なかなか複雑なんですね～。1/100の抽選で、100ゲーム中3回当たる確率が約6.1％・・なるほど、たしかに妥当な数値という気がします。

ところで問題２のアドバイスについてなんですが、
＞もし問題の確率とくじを引く回数を、確率1/50で100回などと変えれ＞ば、1回も当らない確率（＝(49/50)^100）と1回しか当らない確率
＞（＝(1/50)(49/50)^97・100）は違う数字になってきます。
のココ↑の部分は、（1/50）（49/50）＾99・100の間違いじゃないですか？
それと、もし組み合わせを考慮しないで計算した場合に出る数値は、どんな場合の数なんでしょうか？
たとえば、1/100＾3・99/100＾97と計算すると、最初の3回連続であたりを引き、のこり９７回連続ではずれた場合の確率になるんでしょうか？この場合、この順序に固定されているんですか？

お礼日時：2007/06/13 12:59

No.4 回答者： nakago2007 回答日時： 2007/06/13 03:24

Ｎo３ですが、１と２の答えを間違えてしまいました。

すみませんm(_ _)m
Ｎo２さんのおっしゃるとおり組み合わせを考えてみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なんとなく、組み合わせを考慮する必要があるんじゃないか？という気がしていたんですが、理屈で考えるとイマイチピンときません・・何故この場合、組み合わせが必要になるんでしょうか？逆に、組み合わせを考えなくて良いケースではどんな場合がありますか？

お礼日時：2007/06/13 12:44

No.3 回答者： nakago2007 回答日時： 2007/06/13 03:18

1:97回ハズレを引き、3回当たりを引く確率なので

(99/100)^97×(1/100)^3です。

2:これも1と同様に99回ハズレを引き、1回当たりを引く確率なので
(99/100)^99×(1/100)です。

3:その通りです。全員1/100。

No.2 回答者： gyuudon 回答日時： 2007/06/13 03:12

残念ですが、No.1さんの解答もあなたの解答も違います。

１．
99/100の97乗は、97回はずれを引く確率です。
3回当たる場合、さらに1/100の3乗を掛ける必要があります。
そうなると、No.1さんの解答になるかと思いますが、これでは、97回連続ではずれて、その後に3回連続で当たった確率になってしまいます。
100回の内のどこで当たったとかも考慮する必要があります。
数学でいう「組み合わせ」ですね。
ヒントは「100 C 97」

２．
１と同様です。
＞1-（全てはずれの確率＋2回以上当たる確率）じゃないかと思うんですが、これだと計算がややこしい気がします。
とありますが、このような計算の仕方はベターです。

３．
正解です。
後になった人ほど有利になる気がしますが、当たりが残っている可能性も減ってしまうので、一緒になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なんとなく、組み合わせを考慮する必要があるんじゃないか？という気がしていたんですが、理屈で考えるとイマイチピンときません・・何故この場合、組み合わせが必要になるんでしょうか？逆に、組み合わせを考えなくて良いケースではどんな場合がありますか？

お礼日時：2007/06/13 12:44

No.1 回答者： colocolo62 回答日時： 2007/06/13 02:25

１：（99/100）^97 × （1/100）^3

２：（99/100）^99 × （1/100）^1
３：全員、1/100で正解