No.3ベストアンサー
- 回答日時:
まず、円の中心Oから長方形の1辺に下ろした垂線の長さがxなのですから、その長方形の辺の長さは 2x と 2√(1-x^2) になりますので、長方形の面積Sは、次のようになります。
S=4x√(1-x^2)
ただし、0 < x < 1/2
ここで、Sが最大となるときを求めるのですが、このままでは微分しづらいので、S>0であることを利用して、その自乗を取り、次の値の最大を求めることにします。
f(x)≡(S/4)^2=x^2(1-x^2)=-x^4+x^2
この関数の様子を調べます。
f(x)=0 としたとき、x=0, ±1 を解にもつ。
f'(x)=-4x^4+2x=-2x(2x^2-1)
f'(x)=0 としたとき、x=0, ±1/√2 を解にもつ。
したがって、0 < x < 1/2 の範囲での増減表は次の通り。
x|0| |1/√2| |1|
f'|0|+| 0 |-|-|
f|0|/| 1/4 |\|0|
上の増減表から、f(x)が最大となるのは、
x=1/√2 のときで 最大値=1/4
だと分かります。
さて、f(x)=(S/4)^2 なのですから、
S=4√f(x)
となります。
従って、Sが最大となるのは、
x=1/√2 のときで 最大値=2
と求められます。
No.6
- 回答日時:
>>微分を使用しなければいけないのですが、
(cosθ、sinθ)が簡明なので、
何故?・・・とは思いますが、
微分の練習と言う事で・・・。
>>OA=xとして、
>>x*√(1^2-x^2)が面積に、(此の4倍)
S=x*√(1^2-x^2)
0≦x≦1・・・x=1で微分係数を持たないので、
0≦x<1も可。0<x<1も可。
S'=(x)'(√(1-x^2)+x(√(1-x^2))'
=√(1-x^2)+x*(-2x)(1/2)(1/√(1-x^2))
=√(1-x^2)ー(x^2)/√(1-x^2))
=(1-2(x^2))/√(1-x^2))
グラフは、
/ \
/ \ な感じで、
(0) (1/√2) (1)
X=(1/√2)の時、
SのMAXは、(1/√2)(1/√2)=(1/2)
長方形のMAXは、(1/2)*4=2。
No.5
- 回答日時:
#3です。
誤記がありましたので、下記の通り訂正させてください。
ごめんなさい。
> ただし、0 < x < 1/2
(正) ただし、0 < x < 1
> したがって、0 < x < 1/2 の範囲での増減表は次の通り。
(正)したがって、0 < x < 1 の範囲での増減表は次の通り。
あとの計算結果は変わりません。
No.4
- 回答日時:
微分しないほうが簡単かと思います。
1>=x>=0
なわけで、xは正の数ということが分かっています。
なのでxをルートの中に入れてしまってください。
そうすると、ルートの中身は
(x^2-x^4)
となりますが、
x^2=t (0<=t<=1)
とおきます。
そうすると
t-t^2
という簡単な式になります。
これをy=t-t^2 (y>=0)
と置いて
yの最大値を求めます。
そして、この平方根をとったものが面積の最大値ですね。
まあ、どうしても微積分を使いたいなら
y=t-t^2かy=x^2-x^4
を微分して極値を求めるのがいいですね。
No.2
- 回答日時:
三角関数で考えれば、非常に簡単に解けそうですね…。
まず、4つの頂点を、(cosx,sinx) , (-cosx,sinx)、
(-cosx,-sinx) , (cosx,-sinx)とおくと、ただし(0<x<π/2)
これらの点によって出来る長方形の面積S(x)は、
S(x) = 4sinxcosxとなる事から、sin2x = 2sinxcosxより、
S(x) = 2sin2xとなります。後は、0 < x < π/2より
x = π/4のときS(x)の最大値は2となります。
x = π/4は面積が最大ならばsin2x=1となる事から得られます。
すなわち、円に内接する正方形が最大となるわけですね..。
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