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半径1の円に内接する長方形の面積が最大になものを求めたいのですが、考え方として、円の中心Oから長方形の縦の線までの距離をOA=xとして、その2倍が横の長さになります。
そこで、縦の長さは三平方の定理を利用して、√(1^2-x^2)と求めます。
よって、x*√(1^2-x^2)が面積になるのですが、
この後微分をして増減表を書いて最大値を求めればこれが面積の最大となるのでしょうか。
微分がイマイチできないので確認の為に答えを導いてくれると幸いです。
よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

 まず、円の中心Oから長方形の1辺に下ろした垂線の長さがxなのですから、その長方形の辺の長さは 2x と 2√(1-x^2) になりますので、長方形の面積Sは、次のようになります。



  S=4x√(1-x^2)
  ただし、0 < x < 1/2

 ここで、Sが最大となるときを求めるのですが、このままでは微分しづらいので、S>0であることを利用して、その自乗を取り、次の値の最大を求めることにします。

  f(x)≡(S/4)^2=x^2(1-x^2)=-x^4+x^2

 この関数の様子を調べます。

  f(x)=0 としたとき、x=0, ±1 を解にもつ。

  f'(x)=-4x^4+2x=-2x(2x^2-1)
  f'(x)=0 としたとき、x=0, ±1/√2 を解にもつ。

 したがって、0 < x < 1/2 の範囲での増減表は次の通り。

  x|0| |1/√2| |1|
  f'|0|+| 0 |-|-|
  f|0|/| 1/4 |\|0|

 上の増減表から、f(x)が最大となるのは、

  x=1/√2 のときで 最大値=1/4

だと分かります。

 
 さて、f(x)=(S/4)^2 なのですから、
  S=4√f(x)
となります。
 従って、Sが最大となるのは、

  x=1/√2 のときで 最大値=2

と求められます。
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>>微分を使用しなければいけないのですが、


(cosθ、sinθ)が簡明なので、
何故?・・・とは思いますが、
微分の練習と言う事で・・・。

>>OA=xとして、
>>x*√(1^2-x^2)が面積に、(此の4倍)

S=x*√(1^2-x^2)
0≦x≦1・・・x=1で微分係数を持たないので、
0≦x<1も可。0<x<1も可。

S'=(x)'(√(1-x^2)+x(√(1-x^2))'
=√(1-x^2)+x*(-2x)(1/2)(1/√(1-x^2))
=√(1-x^2)ー(x^2)/√(1-x^2))
=(1-2(x^2))/√(1-x^2))

グラフは、
    /  \ 
 /        \ な感じで、
(0) (1/√2) (1)

X=(1/√2)の時、
SのMAXは、(1/√2)(1/√2)=(1/2)
長方形のMAXは、(1/2)*4=2。
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 #3です。


 誤記がありましたので、下記の通り訂正させてください。
 ごめんなさい。

>  ただし、0 < x < 1/2
(正) ただし、0 < x < 1

> したがって、0 < x < 1/2 の範囲での増減表は次の通り。
(正)したがって、0 < x < 1 の範囲での増減表は次の通り。

 あとの計算結果は変わりません。
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微分しないほうが簡単かと思います。


1>=x>=0
なわけで、xは正の数ということが分かっています。
なのでxをルートの中に入れてしまってください。
そうすると、ルートの中身は
(x^2-x^4)
となりますが、
x^2=t (0<=t<=1)
とおきます。
そうすると
t-t^2
という簡単な式になります。
これをy=t-t^2 (y>=0)
と置いて
yの最大値を求めます。
そして、この平方根をとったものが面積の最大値ですね。

まあ、どうしても微積分を使いたいなら
y=t-t^2かy=x^2-x^4
を微分して極値を求めるのがいいですね。
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三角関数で考えれば、非常に簡単に解けそうですね…。


まず、4つの頂点を、(cosx,sinx) , (-cosx,sinx)、
(-cosx,-sinx) , (cosx,-sinx)とおくと、ただし(0<x<π/2)
これらの点によって出来る長方形の面積S(x)は、
S(x) = 4sinxcosxとなる事から、sin2x = 2sinxcosxより、
S(x) = 2sin2xとなります。後は、0 < x < π/2より
x = π/4のときS(x)の最大値は2となります。
x = π/4は面積が最大ならばsin2x=1となる事から得られます。
すなわち、円に内接する正方形が最大となるわけですね..。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
微分を使用する問題なので微分を使用しなければいけないのですが、
一種の解き方として覚えておきます。

お礼日時:2007/06/16 00:30

S = x * √(1 - x^2) として、最大値を求めるのであれば


S^2 = x^2 * (1 - x^2) の方が易しいでしょう。

この回答への補足

S=2x*2√(1-x^2)が正しい面積でした。
誤記すみません。

補足日時:2007/06/16 00:35
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
解きやすいように変形する事を心掛けます。

お礼日時:2007/06/16 00:30

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