grad｜r-r'│=(r-r')/｜r-r'｜の証明

質問

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質問者：sugerhigh
投稿日時：2007/06/20 22:32
困り度：

｜r-r'｜=√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}とする。
１）　grad｜r-r'│=(r-r')/｜r-r'｜の証明
２）　grad f(｜r-r'｜)=-grad' f(｜r-r'｜)の証明

という課題が出されたのですが、教科書、ネット等で見てもさっぱりわかりません…。
どなたかお願いします！！

回答(2件)

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No.2

回答者：YHU00444
回答日時：2007/06/20 23:57

１）は成分を具体的に計算（x成分を調べれば終了）。R=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2,X=x-x'とでもおいて、R,Xの置換微分をやればOK。

２）のgrad'が(∂/∂x',∂/∂y',∂/∂z')のことだとしたら、↑の解法と同様ですね。（fを置換微分）

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この回答へのお礼

ありがとうございました！やっと理解でき、課題が無事できました。

　　gradφ＝(∂φ/∂x)i+(∂φ/∂y)j+(∂φ/∂z)k
　　ただし、i,j,kはx,y,z方向の単位ベクトル
ですので、ｘ、ｙ、ｚ成分ごとに各辺を計算して等しいことを証明すればＯＫです。

１）x成分
　　(左辺)＝(1/2)2(x-x')/√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
　　(右辺)＝(x-x')/√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
　∴(左辺)＝(右辺)

　あとは、ｙ成分、ｚ成分についても同様に示してください。

２）これは合成関数の微分を使ってください。
　　ｘ成分
　　(左辺)＝(∂f/∂x)＝(∂r/∂x)(∂f/∂r)
　　(右辺)＝-(∂f/∂x')＝-(∂r'/∂x')(∂f/∂r')＝-(-∂r/-∂x)(∂f/-∂r)＝(∂r/∂x)(∂f/∂r)
　　∴(左辺)＝(右辺)

　あとは、同様に、ｙ成分、ｚ成分についても同様に示してください。