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先日の『たけしのコマネチ大学数学科』の「投影図」の回で、正面図と側面図が直径aの円、平面図が1辺aの正方形となる(最大の)立体を取り上げていました。

その立体は円筒を軸と垂直に同じ円で切断した、栗の実とかふくらんだ座布団のような立体で、上下軸のどこで切っても断面が正方形になるため、

この立体の体積:直径aの球の体積 = 正方形の面積:円の面積

となるのは面白いと思いました。

そこで疑問がわいたのですが、この立体をもう一度、上下(平面図の視線方向)の軸を中心に直径aの円で切ってできる立体の体積はどうなるでしょうか?

微分積分は得意ではないので、あまり複雑でなければ知りたいと思うのですが…。

A 回答 (2件)

とっくに答えが出ているけれど、積分で求めてみましょう。



(準備)「コマ大の立体」の軸方向をx軸とし、この軸を含む平面でこの立体を切断すると、断面は円になる。この円の中心を原点にし、x軸に垂直にy軸をとる。
この断面は上下左右に対称なのでx≧0、y≧0で考える。円の半径をrとする。

(本題)x軸に沿った円筒でこの立体を切っても、x≧r/√2では影響がないので、x軸に垂直な断面は正方形。1辺の長さは√(r^2-x^2)
∫[r/√2→r](r^2-x^2)dx=[r^2x-x^3/3][r/√2→r]=(8-5√2)r^3/12

r/√2≧x≧0では、1辺の長さ√(r^2-x^2)の正方形の内、半径rの円内にある部分だけが断面となる。
           この断面の1/4を左図に示す。(斜線EDは実際には
 y         中心をO、半径をrとする円弧。四角形AC BOは正方形)
 ↑  E       断面は△AEO+△BDO+扇形EDO。
A├───┐C    OA=√(r^2-x^2)、AE=x、かつ
 |   \|     △AEO≡△BDOだから
 |     |D    △AEO=△BDO=x√(r^2-x^2)/2
 |     |     扇形EDOの中心角はπ/2-2asin(x/r)
O└───┴→ z   だから扇形EDO=πr^2*(π/2-2asin(x/r))/(2π)
       B      =r^2(π/2-2asin(x/r))/2

断面=x√(r^2-x^2)+r^2(π/2-2asin(x/r))/2 

∫[0→r/√2](x√(r^2-x^2)+r^2(π/2-2asin(x/r))/2)dx
 =[-(r^2-x^2)^(3/2)/3-2(x・asin(x/r)+√(r^2-x^2))][0→r/√2]
 =(16-7√2)r^3/12

両者を足して整理すると (2-√2)r^3
これは全体の1/8を求めたことになるので 8(2-√2)r^3
r=d/2を代入すると#1さんの答えと一致します。
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この回答へのお礼

たいへん詳しく、また図までありがとうございます。

真ん中の部分の、角の取れた立体の体積を一体どうやって計算するのかと思いましたが、2つの三角形と扇形に分割するという方法に、またAEがちょうどxになるということに感心しました(横から見ると45°の直線で面が交わっているので確かに不思議はないのですが)。

式を全部追ってはいませんが、このように計算方法を示していただくことで立体の形が想像しやすくなりました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/07/05 01:24

下記参考URLの【補】相貫円柱のところに


直交する円柱を2本、および3本相貫させた時の共通部分の体積が載っています。
質問の立体は12の曲面で囲まれた立体で
その体積は円柱の直径をdとすると
(2-√2)d^3
ですね。

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/406_ …
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この回答へのお礼

「相貫円柱」と呼ぶのですね。
こんなに簡単な式になるとは驚きました。
他の解説も興味深いのでよく読んでみたいと思います。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2007/07/04 14:43

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