R^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いは？

質問

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1次元空間をR、
2次元空間をR^2とします。

それを続けて、先にある空間を考えたいとします。
そのとき、

R^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いはなんですか？

たしか微妙な違いがあったと思いますが、整理できていないので、ご教示ください。

この質問への回答は締め切られました。

> R^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いはなんですか？

記号は分野によっても使い方に違いがある場合があるので、それぞれの具体的な定義を書き下してください。
ついでに、自分で具体的な定義を書き下せば、それらの違いは明白になると思います。

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