ローラン展開

1/(e^z-1) 0<|z|<2π, z=0

でのローラン展開を求めよ、という問題なんですが、
どのように解いていけばいいのかよくわかりません。
とりあえず、とっかかりだけでも教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/07/13 17:21

ローラン展開の展開式は教科書（参考書）または授業で教わって知っていますね。

ローラン展開f(z)|z=0=L(z,0)は
L(z,0)=f(z)
=・・・＋c_-n/(z－a)^n ＋・・・＋c_-2/(z－a)^2＋c_-1/(z－a)
＋c_0＋c_1(z－a)＋c_2(z－a)^2＋・・・＋c_n(z－a)^n＋・・・

です。
nは自然数です。ただし、c_(-1)以外の係数c_nは
c_n＝(1/(2πi))∫_C {f(z)/z^(n+1)}dz
c_(-1)は
c_(-1)＝{(1/(2πi))∫_C {f(z)}dz=1
です。

ただ積分してローラン展開式の各項の係数を求めて代入するだけです。
結果は
f(z)=(1/Z)-(1/2)+(z/12)-{(z^3)/720}+{(z^5)/30240}-…
となるようです。

＃自分で計算して確認してください。

この回答へのお礼

求める流れは分かりました。ありがとうございます。
ですが、係数を求める積分の解き方が分かりません・・・
もしよろしければ、n=0のときだけでいいので積分の解き方を教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2007/07/13 18:19

No.1 回答者： Suue 回答日時： 2007/07/13 15:18

この関数のローラン展開の一般項には、ベルヌーイ数が出てきます。

ですから、このローラン展開の一般項を求めるのか、主要部と正ベキの項を少しだけ求めればいいのか、もしくは複素積分をしたいので主要部だけを求めればいいのか、補足をお願いします。

展開を求める方法ですが、もとの関数の逆数（e^z-1）の展開はすぐに求まりますし、これは１位の極なので、
ｆ（ｚ）　＝　1/(e^z-1)
　　　　　＝　Σ（ｎ：from -1 to ∞）ａ[n]ｚ＾ｎ
ａ[n]は定数
として、ｆ（ｚ）×　(e^z-1)　＝　１
となるように各係数ａ[n]を求めればいいです。

この回答へのお礼

主要部と正ベキの項を少しだけ求めたいです。
言葉足らずですみませんでした。

お礼日時：2007/07/13 18:15