実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係は?

超実数なるものを知りました。

「公理:Rは完備順序体である
公理:R*はRの真拡大順序体である
Rを実数体,R*を超実数体と言い、それぞれの元を実数,超実数と言う」

といったものですが
実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係はどうなっているのでしょうか?

また、実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

No.6 ベストアンサー 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/16 18:35

＃２，＃４です。

（＃５さんへ）

>> いいえ、lim Δx＝０（Δx→０）です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/ …
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので＃４のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を１つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
（ここで、st(f(dx)) は 超実数 f(dx) の標準部分を表す）

>> 集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、
>> （実数と１：１の）直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、
>> 実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

これについては、＃３さんと同意見です。
もし直線が実数と１：１なら、＃５さんの言うとおりだと思いますが、
直線を超実数と関連付けるような定義があっても不思議ではないと思います。

（質問者さんへ）

>> 単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φの時,Aのたった一つの元を

{}の中の詳細は議論しないことにしますが、
たった一つの元、ということではなさそうです。
上記（＃５さんへ）で書いたように、
正の無限小超実数を１つ選び、dx とおくことになると思います。
正の無限小超実数はたくさんありますが、
そのうちのどれを選んでも議論が成り立つと思います。

>> 「あらゆる正の実数 r に対して，|ε| ＜ r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ．
>> 注）ある実数 r に対して |ε| ＜ r が成り立つとき，εを有限超実数と呼ぶ．」
>> は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

間違いないです。無限小超実数は０に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。
お蔭様で大変参考になっております。

お礼日時：2008/03/10 07:55

No.5 回答者： jmh 回答日時： 2007/07/16 14:17

いいえ、lim Δx＝０（Δx→０）です。

> 超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか？
>
集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、（実数と１：１の）直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

No.4 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/15 10:43

＃２です。

実をいうと、私はこの質問で初めて超実数を知りました。
しかし、＃２の私の回答の前半部分は正しいはずです。
後半部分についてはあくまでイメージとして書いたのですが、
もう少し調べてみると、以下のことがいえるようです。
まずは、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F% …
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/ …

をご覧下さい。

普通の数学では、lim[Δx→+0]Δx = 0 ですが、
超準解析では、lim[Δx→+0]Δx = dx と定義するようです。
すると、

lim[Δx→+0]Δx = dx
lim[Δx→-0]Δx = -dx
lim[Δx→+0]Δx^2 = dx^2
lim[Δx→+0]0 = 0

となり、-dx < 0 < dx^2 < dx です。
また、上記の４つの超実数はどれも０に無限に近いといえます。
任意の有限超実数 x はただ１つのある実数に無限に近く、
その実数を x の標準部分といい、st(x) で表します。
すると、st(-dx) = st(0) = st(dx^2) = st(dx) = 0 となります。

というわけで、
普通の数学では上記４つの極限はすべて０である
超準解析では上記４つの極限は異なるが、どれも０に無限に近く、
４つの極限の標準部分はすべて０である
ということになります。
このようにして、普通の数学では
lim[Δx→+0]Δx と lim[Δx→+0]Δx^2 は区別できないが、
超準解析では明確に区別できるようになる、ということのようです。

この回答へのお礼

ご回答大変有難うございます。

超実数の概念を取り入れるとdxを個々の記号として厳密に定義できるのですね。高校のころ、dx/dyとdxとdyがばらせる事に散々違和感を覚えておりました。大学でも無限小解析の授業は全くありませんでした。

lim[Δx→+0]Δx = dx
の定義は
単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φ
の時,Aのたった一つの元をdxと定義するという解釈で宜しいのでしょうか?
間違いがありましたらご指摘下さい。

あと、
「あらゆる正の実数 r に対して，|ε| ＜ r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ．
注）ある実数 r に対して |ε| ＜ r が成り立つとき，εを有限超実数と呼ぶ．」
は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

お礼日時：2007/07/16 09:20

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/07/15 00:22

R⊂R*　ですが、R*とCには包含関係はありません。

R*∩C=Rです。
C*=R*(i)として、これを超準複素数（この用語は私だけが使っています。）と名付ければ、R⊂R*⊂C*となりますね。

ところで、
>実数は直線
というのは誰から教えたもらいましたか。これは、「ドグマ」です。というのは、歴史的に実数の発見される以前は、人々は有理数を直線のモデルだと信じていました。現在でも小学生は有理数を直線だと信じて疑いませんよね。また、実生活でも有理数を直線だと信じていても、一向に不都合は感じません。実数が発見されてからは、実数を直線のモデルだと信じるようになりました。さらに時代が下って、超実数が発見されるにおよんで、人々（実際は、基礎論の数学者という、一部の人々）は超実数を直線のモデルと考えるようになったのです。つまり、「直線」という半視覚的対象には、稠密な順序体ということ以外には、厳密な数学的定義はありません。「直線」の概念は歴史的なものなのです。

この回答へのお礼

有難うございます。

> C*=R*(i)
超準複素数の元はa+bi∈C* (a,b∈R*)となるものですね。
勿論、+と・の定義をしなければならないでしょうが。

> というのは誰から教えたもらいましたか。
高校のころから授業でですが。。
不等式の解の範囲を知るのに数直線を用いて説明を受けました。

お礼日時：2007/07/15 08:11

No.2 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/14 23:33

>> 実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。

>> 超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

超実数は無限小や無限大を厳密に定義するために考えられたものです。
そして、０より大きく、どんな正の実数よりも小さい超実数が存在します。
ですから、超実数というのは、縦軸を書き足すようなものではなく、
実数の数直線上にある無限に小さいすきまを埋めたものである、
といえるでしょう。
イメージで言えば（あくまでイメージですが）同じ０でも
lim[x→+0]x と lim[x→-0]x と
lim[x→+0]x^2 と lim[x→+0]0 はすべて違い、
どれも０に無限に近いが、このうちのどの２つを比較しても
イコールではなく、大小関係が成り立つ、
といった感じになるかもしれません。

この回答へのお礼

有難うございます。

>感じになるかもしれません。
ん?確認なのですが、超実数体上でだと各極限値が異なるのでしょうか??

お礼日時：2007/07/15 08:14

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2007/07/14 16:51

「公理:R*はRの /真/ 拡大順序体」だから、Ｒ*⊂Ｒ、Ｒ*≠Ｒです。

超実数体に虚数は入ってなし、複素数体に真の超実数（実数でない超実数）もないから超実数体と複素数体には包含関係はないんじゃないかしら。

この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。
お蔭様で大変参考になっております。

お礼日時：2008/03/10 07:56