ネーターの定理ってなんですか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=304503
で、siegmund さんはじめ、皆さんが書いた解答が
とても勉強になったのですが、
ちょっと根本的に分からないことがあります。
例えば、siegmund さんの図の例だと
エネルギー E=1/2 m v[t]^2 + m g (- x[t]) は
保存されますよね。
ここで、
ラグランジアン L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
だと思うのですが、
oshiete_goo さんの
| 時間方向の並進運動に関する時空の不変性(時間方向の並進対称性)
| <--> エネルギー保存則
siegmund さんの
| 不変かどうかを調べるべき量は,
| oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが,
から考えたのですが、
時刻が t から t' に変化すると、
L は不変ではないように見えます。
私は何を勘違いしているのでしょうか・・・?
すみませんがよろしくおねがいします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
siegmund です.
physicist_naka さんのおっしゃるとおりです.
多少,補足させていただきます.
> ラグランジアンは、一般化された座標、
> その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。
のあたりが微妙なところです.
ここでの話は,ラグランジアンを
(1) L(x,v,t) v=dx/dt
と3変数の関数と見たとき,t の変化に対してラグランジアンが
不変かどうかということです.
x,v は運動方程式をといた後では t の関数ですが,x や v を通じて
入ってくる t 依存性はここの話では考えません.
微分記号で言えば,dL/dt を問題にするのではなく,∂L/∂t を問題にするのです.
別の言い方が,時間を陽に含むかどうか,です.
今の例の
(2) L=(1/2) m v^2 - m g (-x)
には t は陽に含まれていませんから,t をずらしても L は当然不変です.
実は,エネルギーの時間変化は
(3) dE/dt = -∂L/∂t
であることを示すことができ,これから,
∂L/∂t=0 なら(t は陽に含まれていなければ), E が保存されることになります.
E が保存されない典型例は摩擦のある系で,今の自由落下に速度に比例する摩擦項
を加えると,ラグランジアンは
(4) L = exp(γt/m){(1/2) m v^2 - m g (-x)}
になります.
これからオイラー・ラグランジュ方程式を作ると,速度に比例した摩擦力が働く
運動方程式が得られます.
(4)ですと,陽な t 依存性が L にありますので,エネルギーは保存しません.
これは,摩擦でエネルギーが失われるということに対応しています.
physicist_naka さん、siegmund さんありがとうございます。
いままで、奥歯に何かかんでいるような状態だったのですが、
おかげさまですっきりしました。
わたしは根本的に勘違いしていましたね。
オイラー・ラグランジュ方程式にもすこし親しみがでたような気がします。
ありがとうございました!
新たな疑問が出たのですが、別スレッドにします。
No.1
- 回答日時:
このあたり、まったく自信がありませんが、まだ回答されていませんので、こうではなかろうかということで回答させていただきます。
ラグランジアンは、一般化された座標、その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。ご質問の、
L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
という書き方は誤解を招くので、
L=1/2 m v^2 - m g (-x)、(vはxの時間微分)
と書かないといけないと思います。このLは、時間を陽に含んでいませんので、(つまり、v、xを止めてtを動かしても不変なので)時間方向の並進対称性はあるということになるとおもいます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 哲学 エネルギーと性質に付いて 感想はありませんか? 日本を変えなければ。 8 2022/09/12 09:22
- 物理学 相対論化の主目的はなんですか? 2 2023/03/26 05:57
- 物理学 アインシュタインの質量とエネルギーの等価性(E=mc²)って間違ってますよね? 4 2023/01/14 13:29
- 哲学 あなたの生き甲斐は何ですか? 存在の世界が分かりますか? 3 2022/09/11 21:37
- 物理学 『四次元温度』 2 2022/05/09 11:07
- 物理学 万有引力と重力の位置エネルギーについて 例えば、地球の表面から真上に質量mの球を初速v₀で投げた時の 7 2022/04/18 23:15
- 物理学 時間を語るなら、(複数の時間の正体)を知る必要が有る。 1 2023/02/16 22:14
- 物理学 統計力学における平衡状態の定義について 4 2022/12/27 01:47
- その他(自然科学) 相対性理論と量子力学の統一の正体は、物質M±の変化進行形の性質に有る。とは思いませんか?? 1 2023/03/28 08:56
- 宇宙科学・天文学・天気 昔考えたこともですが 今にも通じてるでしょうか? 2 2022/09/28 22:05
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
再生可能エネルギーは、再生で...
-
フェルミエネルギーについて
-
高校物理の力学の質問
-
泡が壁面にくっつくのは…
-
縮退をわかりやすくお願いします
-
もう、何も頑張りたくないです...
-
位置エネルギー U
-
物理のエッセンスで「失われた...
-
水路が分岐た場合の水圧について
-
「U = mgh」の「U」は何の略な...
-
女性ですが、よくエネルギーが...
-
カットオフ周波数とは何ですか?
-
バンドフィリングについて
-
物理基礎 摩擦力と運動エネルギ...
-
名問の森力学39番⑷の問題です。...
-
厚さtの板に直径Dの穴を開け...
-
力学的エネルギーの保存でレー...
-
同じく物理の問題です。 象の1...
-
ネガティブな発言する人の側に...
-
バンド間遷移とトンネル効果の違い
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
力学的エネルギーの保存でレー...
-
位置エネルギー U
-
「U = mgh」の「U」は何の略な...
-
半導体の光学的性質について。 ...
-
高校物理の力学の質問
-
車に詳しい方
-
スイッチSを閉じて十分に時間が...
-
人間のジャンプ時の衝撃値は?
-
水路が分岐た場合の水圧について
-
一分子の基底状態と励起状態の...
-
ネガティブな発言する人の側に...
-
やりたいことと、やっておいた...
-
縮退をわかりやすくお願いします
-
もう、何も頑張りたくないです...
-
電波や音波(音圧)は距離の二乗...
-
普段の生活の中での位置エネルギー
-
超高温 vs 超低温(絶対零度)...
-
干渉して打ち消しあった光の波...
-
放射線β線はなぜ連続スペクトル...
-
励起子束縛エネルギーについて
おすすめ情報