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ネーターの定理ってなんですか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=304503

で、siegmund さんはじめ、皆さんが書いた解答が
とても勉強になったのですが、
ちょっと根本的に分からないことがあります。

例えば、siegmund さんの図の例だと
エネルギー E=1/2 m v[t]^2 + m g (- x[t]) は
保存されますよね。

ここで、
ラグランジアン L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
だと思うのですが、

oshiete_goo さんの

| 時間方向の並進運動に関する時空の不変性(時間方向の並進対称性)
| <--> エネルギー保存則

siegmund さんの

| 不変かどうかを調べるべき量は,
| oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが,

から考えたのですが、
時刻が t から t' に変化すると、
L は不変ではないように見えます。

私は何を勘違いしているのでしょうか・・・?

すみませんがよろしくおねがいします。

A 回答 (2件)

siegmund です.



physicist_naka さんのおっしゃるとおりです.
多少,補足させていただきます.

> ラグランジアンは、一般化された座標、
> その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。
のあたりが微妙なところです.

ここでの話は,ラグランジアンを
(1)  L(x,v,t)   v=dx/dt
と3変数の関数と見たとき,t の変化に対してラグランジアンが
不変かどうかということです.
x,v は運動方程式をといた後では t の関数ですが,x や v を通じて
入ってくる t 依存性はここの話では考えません.
微分記号で言えば,dL/dt を問題にするのではなく,∂L/∂t を問題にするのです.
別の言い方が,時間を陽に含むかどうか,です.

今の例の
(2)  L=(1/2) m v^2 - m g (-x)
には t は陽に含まれていませんから,t をずらしても L は当然不変です.
実は,エネルギーの時間変化は
(3)  dE/dt = -∂L/∂t
であることを示すことができ,これから,
∂L/∂t=0 なら(t は陽に含まれていなければ), E が保存されることになります.

E が保存されない典型例は摩擦のある系で,今の自由落下に速度に比例する摩擦項
を加えると,ラグランジアンは
(4)  L = exp(γt/m){(1/2) m v^2 - m g (-x)}
になります.
これからオイラー・ラグランジュ方程式を作ると,速度に比例した摩擦力が働く
運動方程式が得られます.
(4)ですと,陽な t 依存性が L にありますので,エネルギーは保存しません.
これは,摩擦でエネルギーが失われるということに対応しています.
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この回答へのお礼

physicist_naka さん、siegmund さんありがとうございます。

いままで、奥歯に何かかんでいるような状態だったのですが、
おかげさまですっきりしました。
わたしは根本的に勘違いしていましたね。
オイラー・ラグランジュ方程式にもすこし親しみがでたような気がします。
ありがとうございました!

新たな疑問が出たのですが、別スレッドにします。

お礼日時:2002/07/20 10:31

このあたり、まったく自信がありませんが、まだ回答されていませんので、こうではなかろうかということで回答させていただきます。


ラグランジアンは、一般化された座標、その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。ご質問の、
L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
という書き方は誤解を招くので、
L=1/2 m v^2 - m g (-x)、(vはxの時間微分)
と書かないといけないと思います。このLは、時間を陽に含んでいませんので、(つまり、v、xを止めてtを動かしても不変なので)時間方向の並進対称性はあるということになるとおもいます。
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