周波数やサンプリング定理について

Question

こちらのカテゴリーでよいのか悩みましたがお願いします。

音波の周波数がありますよね。
たとえば、20kHzというのは、1秒間に2万回の揺れで音を鳴らしていると思うのですが、その2万回に対して4万回以上のチェックというかデータ取りをすれば、元のアナログデータを忠実に再生することが出来るというのがサンプリング定理ですよね？

http://w3-pre.apc.ehdo.go.jp/22034/images/2-1_1.jpg
また、リンク先の左の図ですが、縦線は音の大きさを表しているのですか？つまり、周波数ですか？
横線よりも上は＋、下は－と書かれているものもありましたが、何を基準に分けているのでしょうか？

また、周波数が高いと音量は高いですが、揺れ幅自体は反比例して小さくなっていくとの考えは間違っていますか？

noname#130062 · Accepted Answer

>縦線は音の大きさを表しているのですか？つまり、周波数ですか？

音の大きさで間違いありませんが周波数ではありません。音の大きさが大きくなっても繰り返しの回数とは関係有りません。周波数は１秒あたりの繰り返しの回数ですから、波形１周期のグラフ横方向の幅が表す時間が周波数になります（１秒÷１周期の時間＝周波数）。


>その2万回に対して4万回以上のチェックというかデータ取りをすれば、元のアナログデータを忠実に再生することが出来るというのがサンプリング定理ですよね？

違います。上限20kHzまでを再現するには「最低でも倍」にあたる40kHzでサンプリングする必要があるという原理です。ですからＣＤは少し余裕を持たせて44.1kHzでサンプリングしています。


>また、周波数が高いと音量は高いですが、揺れ幅自体は反比例して小さくなっていくとの考えは間違っていますか？

正しいですが幅は高さ方向ではなく横方向の幅（＝１波長）になります。


>横線よりも上は＋、下は－と書かれているものもありましたが、何を基準に分けているのでしょうか？

音をマイクロフォンで録音する時に振動版が押し込まれる（蜜状態）のが＋で、反対側にくる（粗状態）のが－です（何も音が無い状態が原点＝横線になります）。スピーカーは空気の粗密を再現するものですから＋－が逆になります。

foobar · Answer

#9さんの「原信号の周波数帯域が (ある整数 n に対し) n fN～ (n+1) fN の間にあるなら復元できる」
これは標本化定理を拡張したもののように思います。
(通常「標本化定理」というときには、これの n=0の場合を呼んでいるような。)

また、#5で紹介されている、サンプリングオシロは、上記(拡張された?)標本化定理には収まらない状況かと思います。
(原信号の高調波が次数毎に異なるnの範囲に収まっている)
サンプリングオシロは、原信号のくり返し周波数 w0より少し低い周波数 wsでサンプルして、LPFをかけると
原信号:ΣAn*exp(jnw0)
LPFの出力:ΣAn*exp(j(nw0-nws))=ΣAn*exp(jn(w0-ws))
とくり返し周波数がw0-wsになった信号が現れる、という具合にエイリアスをうまく利用した処理かなと。

Tacosan · Answer

えぇ, あとで気付きました＞#8.
サンプリング周波数 fs に対しナイキスト周波数 fN = fs/2 とすると, (理想 BPF があるという仮定のもとで)
原信号の周波数帯域が (ある整数 n に対し) n fN～ (n+1) fN の間にあるなら復元できる
なら OK かな?
実際には「理想 BPF」が存在しないので, 境界になる周波数は余裕を見る必要がありますが.

再確認すると
「原信号の最高周波数の 2倍を超える周波数でサンプリングすれば必ず戻せる」
「原信号の最高周波数の 2倍以下の周波数でサンプリングしても, 条件によっては戻せる (つまり『決して戻せない』ということではない)」
くらい?

foobar · Answer

「＊＊の2倍を超える周波数でサンプルすれば、原信号を復元できる」
の＊＊は原信号に含まれる最高周波数ですね。

帯域幅の2倍を超えていても、原信号を復元できるとは限らないです。帯域幅の2倍を超えるサンプリング周波数fsで原信号が再現できるには、もうひとつ、「原信号の帯域内に(n/2)fsの周波数が含まれないこと」という条件が必要です。（たとえば、原信号が10k-20kHzの周波数帯域のとき、30kHzでサンプリングすると15kHzを中心に折り返しがおきるので、原信号は復元できません。)

（実用的には、もう少し条件（原信号に含まれる最高周波数とナイキスト周波数fs/2が最低どれくらい離れていないといけないか、がサンプリング期間と関係する）がつきます。）

Tacosan · Answer

先に答えを言ってしまうと, 「周波数帯域の 2倍 (を超える)」が正解です.
例えば, 「10kHz～20kHz の信号」を 20kHz の周波数でサンプリングしたとします. 得られる標本を Fourier 変換すると, 10～20kHz のところに波形が出てきますが, それを (10kHz で) 折り返した波形が 0～10kHz のところに現れます. この 20kHz 分の波形がさらに (周波数に) 周期的に現れます.
サンプリングして得られた信号を再度アナログに戻すと, 「0～10kHz」, 「10kHz～20kHz」, 「20kHz～30kHz」, ... の周波数が全て混ざった信号になってしまいますが, 「10kHz～20kHz の完全な BPF」を通せば, 元の「10kHz～20kHz の信号」が復元されることになります. 一方, 「0～10kHz の完全な BPF」 (というか LPF) を通すと「0～10kHz の信号」として観測されてしまいます. これがエイリアシングですね.
まあ, 普通はこんなことしませんが理論上は可能です.

outerlimit · Answer

サンプリング定理は
源信号に含まれる最高周波数の2倍以上の周波数でサンプリングすれば
源信号を完全に復元できることを示しています

源信号の周波数帯域には関係しません
しかし、最低周波数以上の時間サンプリングしないと、完全な復元はできません（源信号には存在しなかった周波数成分が復元される）

このため源信号を帯域フィルタに通し、低周波成分と高周波成分を除去し、再現性を高めます

繰り返しますが　周波数帯域の2倍ではありません、最高周波数の2倍です

10K～20Khz（帯域10Khz）の信号を20Khzでサンプリングしたらどのような信号が得られかを検証すれば明白です

また

＞周波数が高いと音量は高いですが

これは成立しません　周波数と音量（振幅）に一義的な関連はありません
それぞれが独立した事象です

基本的なことの理解が心もとないようです

基本がしっかりしていなければ、その先の全てがおかしくなります

周波数領域と時間領域をきちんと理解するよう努力してください

tadys · Answer

サンプリング定理について信号の最高周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要だというのは間違いです。
正しくは「信号の帯域幅の2倍を越すサンプリング周波数が必要である。」です。
言い換えると、信号の（最高周波数ー最低周波数）の2倍を超えるサンプリング周波数が必要になります。
大抵の信号は直流（又は直流に近い周波数）を含んでいるので、最低周波数=０として、最高周波数の2倍で問題ないのです。

周波数を20kHzに限定すれば帯域幅がゼロなのでサンプリング周波数はいくらでもいいことになります。
ただし、サンプリング周波数が20kHzの整数分の1の場合には振幅と位相の情報が得られないので採用できません。
信号の周波数が20kHzだということが分かっていて、振幅と位相の情報が必要無いのであればサンプリングする必要すらありませんね。

信号周波数より低いサンプリング周波数を使用する機器というのは実際に存在します。
1つの例は「サンプリングオシロスコープ」です。GHzを超える信号を観測できるオシロスコープですが、そのサンプリング周波数は100kHz程度です。

元の信号を再現できるかどうかについては、サンプリングしたデータがアナログデータであれば再現できますが、デジタルデータの場合は量子化ノイズが発生するので完全には再現できません。

himara-hus · Answer

＞たとえば、20kHzというのは、1秒間に2万回の揺れで音を鳴らしていると思うのですが、その2万回に対して4万回以上のチェックというかデータ取りをすれば、元のアナログデータを忠実に再生することが出来るというのがサンプリング定理ですよね？

　そうです。
　正確に言うと、2倍の周期でサンプリングするということです。
　あくまで原理ですから、実現するためのＨ／Ｗの問題などは有ります。

​http://w3-pre.apc.ehdo.go.jp/22034/images/2-1_1.jpg​
また、リンク先の左の図ですが、縦線は音の大きさを表しているのですか？つまり、周波数ですか？

　上記の図は、音波（空気の粗密）を（マイクなどで）電気信号に変えた波形です。
　縦線（振幅）は、音の大きさを表しています。
　周波数は、波形の1秒間の繰り返し（サイクル）の回数です。
　横軸の1サイクルの周期をＴ(sec)とすると、周波数ｆ＝１／Ｔです。

＞横線よりも上は＋、下は－と書かれているものもありましたが、何を基準に分けているのでしょうか？

　電気信号が０Ｖ、つまり音が無い時（空気が揺れていないとき）。

＞また、周波数が高いと音量は高いですが、揺れ幅自体は反比例して小さくなっていくとの考えは間違っていますか？

　間違っています。
　周波数が高いと言うことは、音色が高いと言うことであり、音量とは関係有りません。
　周波数が高くなれば、ゆれる周期が短くなります。

tohoho2 · Answer

>ただ、サンプリング定理についてですが、20kHzに限定して考えた場合、2万回に対して4万回のチェックというのは間違っているのでしょうか？

参考URLの説明でどうですか？

参考URL：http://eq2.matrix.jp/snup/src/eq7664.jpg

noname#130062 · Answer

ふたたびお邪魔します。説明不足で申し訳ありませんでした。

再現したい周波数の上限の倍をサンプリング周波数にする（20kHzを再生上限とした場合に40kHzを選ぶ）のは最低限必要な条件であって「元のアナログデータを忠実に再生する」ことが可能になるわけではありません。実用上は殆ど問題なくても耳のいい人なら注意して聞けば元の音との違いがわかるレベルと思ってください。
また、デジタルデータはデジタル信号の状態で処理を加えると必ず品質が劣化します。たとえば16ビットで録音したものが信号処理で12ビット相当になってしまうようなことや、元のピッチを下げた場合はサンプリング周波数を下げたことと同じになります。
このため音楽製作の現場だと予め取り込む品質を高く（32～48ビットかつ96kHz・192kHzでサンプリング）して対処する機材が増えています。

周波数やサンプリング定理について

>縦線は音の大きさを表しているのですか？つまり、周波数ですか？

#9さんの「原信号の周波数帯域が (ある整数 n に対し) n fN～ (n+1) fN の間にあるなら復元できる」

えぇ, あとで気付きました＞#8.

「＊＊の2倍を超える周波数でサンプルすれば、原信号を復元できる」

先に答えを言ってしまうと, 「周波数帯域の 2倍 (を超える)」が正解です.

サンプリング定理は

サンプリング定理について信号の最高周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要だというのは間違いです。

>ただ、サンプリング定理についてですが、20kHzに限定して考えた場合、2万回に対して4万回のチェックというのは間違っているのでしょうか？

ふたたびお邪魔します。

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