質問

 なぜ面積比が相似比の2乗になるのか分かりません。
かなりバカなので詳しく教えてください。

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回答 (4件)

こんにちは。

具体的な形での説明はANo.1, ANo.3でお分かりかと思います。

面積比が相似比(長さの比)の2乗になるのは、形によらない一般的な話です。

ある図形が与えられたとします。
どんな形でも構いません。

この図形が、ひどくいびつなときにはどうやって面積を求めるかというと、その図形の上に縦横に直線を無数に引き、できるだけ小さい四角形に分けてそれを足しあげて面積を求めます。

いま、その図形を長さで見たときに2倍に拡大します。(相似比2)

拡大したときに、図形の上に書いた小さい四角形も一緒に広げます。
そうすると、各々の小さい四角形の面積はすべて4倍になりますよね。
(ANo.1参照。)
そうすると、その総和である、もとの図形の面積も4倍になるわけです。

今、拡大の仕方を長さでみて R倍としましょう。(相似比R)
拡大した結果、各々の四角形の面積はR^2倍になりますね。
そうすると、それらをすべて足し上げた、いびつな図形の面積もR^2倍になります。

四角形に分けたときに、端の部分がカバーしきれないのではないかと思われるかもしれませんが、その四角形は好きなだけ細かくして考えてよいので、端のほうの細かい部分の面積は、好きなだけ小さくで、0とみなすことができます。


[別の考え方]

ひどくいびつな形の図形が与えられたとします。

この図形の面積を何らかの方法で求めることができて、その結果が A [cm^2] だったとします。

L=√A によって L を定義します。

そうすると、その図形の面積は、L×Lの正方形の面積と同じです。

ということは、もとの図形をうまいぐあいに切り刻んで、糊で貼ると、このL×Lの正方形をくまなく埋め尽くすことができます。

次にこのL×Lの正方形を縦横に長さをR倍にします。
つまり、L→LR、になります。

このとき、同時にさっき切り刻んで埋め尽くした各ピースも長さで見てR倍になっています。

拡大した正方形の面積は、R^2×(L×L) = R^2 A [cm^2] になってますね。

長さでみてR倍になった各ピースをまたもとのように組み合わせて、最初のいびつな図形と同じ形のものを作ります。

各ピースが長さで見てR倍なのですから、組み立てた図形も長さでみてR倍になっています。

ところで、上で書いたように、その面積はR^2 A [cm^2]で、確かに相似比Rの2乗倍になっています。



立体図形に関しても上と同様に考え、こんどは立方体の体積が長さをR倍にするとR^3倍になることを使えば、どんな図形でも、相似比がR倍のときには、体積がR^3倍になることを示すことができます。

●相似比というのは、相似な図形の長さの比です

三角形について(多角形は分割すると三角形で表すことができます)
 面積を出すときの【底辺】と【高さ】も長さですので
  相似比がm:nなら、
  【底辺】の比 m:n、【高さ】の比 m:n なので
  【底辺】を am,an、【高さ】を bm,bn と表すと、
 【面積】は、am*bm*(1/2):an*bn*(1/2)=(1/2)abm^2:(1/2)abn^2=m^2:n^2になります。

例 △ABC∽△DEFで、相似比 2:3 
   △ABCの底辺(8),高さ(10)、
   △DEFの底辺(12),高さ(15)
    {8:12=10:15=2:3・・・相似比です}
  △ABC:△DEF=8*10*(1/2):12*15*(1/2)=40:90=4:9=2^2:3^2

円について(円どうしは常に相似です)
  面積を出すときの【半径】も長さですので
  相似比がm:nなら、
  【半径】の比 m:n なので
  【半径】を rm,rn  と表すと、
 【面積】は、π*(rm)^2:π*(an)^2=π(r^2)(m^2):π(r^2)(n^2)=m^2:n^2になります。

例 円Oと円Pで、相似比 2:3
   円Oの半径(20)
   円Pの半径(30)
    {20:30=2:3・・・相似比です}
  円O:円P=π*(20^2):π*(30^2)=400π:900π=4:9=2^2:3^2

参考
●相似な立体の体積比は、相似比の3乗になります。
●相似でなくても、底辺a:b,高さc:d なら、面積比ac:bdもあります

自分がバカと認識しているなら、こんなところで質問してないで、中学の教科書に帰りなさい。
そして、それでも理解できないなら、あきらめなさい。

数学の問題で相似といえば大抵は三角形でしょうが、四角形でも円でも同じことです。

そこでここでは四角形で考えましょう。
1辺1の正方形は

で、この面積を1としましょう。
相似比が2とすると辺の長さが2倍になるので

■■
■■

で■が4個。 2×2で2乗になっています。
相似比が3とすると辺の長さが3倍になるので

■■■
■■■
■■■

で■が9個。 3×3でやはり2乗になっています。

気分が乗ってきたので三角形でもやりましょう。

 ■
■■■

三角形に見えないでしょうが三角形だと思ってください。■は4個です。
相似比が2とすると辺の長さが2倍になるので

   ■
  ■■■
 ■■■■■
■■■■■■■

■は16個です。4個の4倍、つまり2×2で2乗になっています。

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