三角関数の置換積分

sin(x),cos(x)の有理関数の不定積分を求める方法で、多くの微積のテキストでは、t=tan(x/2)として、置換積分する方法が紹介されています。
ですが、私にはちょっとこの方法は論理的に少し強引に感じられます。

テキストによると、上の置換で、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
dt/dx=(1+t^2)/2と表され、tの有理関数の不定積分に帰着させることが
必ずできると紹介されています。

ですが、t=tan(x/2)とおいてsin(x)などをtで表すということは、tan(x/2)が定義されているような x については可能ですが、例えば、x=πではsin(x)はtでは表されないはずです。
簡単な具体的な例をあげると、sin(x)を不定積分するとします。普通は直接積分するでしょうが、あえてこの方法で置換積分するとして、次の式が（多くのテキストの主張では）成り立ちます。

Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1]

右辺は、-(1-t^2)/(1+t^2)+C (Cは積分定数)の形で求まり、
(1-t^2)/(1+t^2) = cos(x)……[2] だったので、-cos(x)+C と不定積分が求まったかに見えます。
ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数（sin(x)を切ったもの）を積分し、不連続な関数（-cos(x)を切ったもの）が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。

このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。

No.1 回答者： migeru 回答日時： 2001/01/26 11:52

私は、数学専門でないので、はっきりとは言えませんが、tan(x/2)は、x=π

のときに、∞となること考慮してはどうでしょうか。
また、非有界関数の積分をするときは、広義積分のこと考えるといいのではないでしょうか？
詳しい事は、その辺の事が書いてある本を見つけて、自分で考察すると良いと思います。

この回答への補足

質問中の式に一部誤りがあったので、訂正します。

誤　Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1]
正　Integral(sin(x)dx) = Integral( 2t/(1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1]

誤　tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、……
正　tの式をあえてtan(x/2)で書いてみるとよくわかると思いますが、……

補足日時：2001/01/26 13:23

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。正直言って、自分での考察の限界に来てます。

広義積分というアイディアがなにか参考にならないかと考えてみます。
普通の広義積分は定積分の積分区間を有界閉区間から開区間や無限区間に拡張するものですよね。
ここでは不定積分について考えているので、直接は使えないですが、そういう何らかの置換積分の拡張をしなければならないのではないかと考えています。
質問の中で例示した関数自体は有界な関数です。問題は置換することによって不連続になってしまう（つまり情報が一部失われてしまう）ような場合の処理なんです。
tan(x/2)→±∞ (x→(2n+1)π)　（n: 整数）なので、
2t/(1+t^2) → 0=sin((2n+1)π) (x→(2n+1)π)
(1-t^2)/(1+t^2) → -1=cos((2n+1)π) (x→(2n+1)π)
ですから、この場合は、極限操作で情報は復元できます。

参考書とかにはさらりと書いてありますが、本来の置換積分の適用範囲を逸脱しているのではないかと疑問です。

お礼日時：2001/01/26 13:23

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/27 03:59

問題は置換積分にあるのではなく，積分の定義のあたりにあります．

きちんとやるには，実数の濃度や測度をマスターしたあと，
ルベーグ積分論を勉強しないといけないでしょう．

あらっぽく言いますと高々可算個の点で値が違うだけの２つの
関数は積分すれば同じ，ということです．
高々可算個とは，有限個あるいは可算無限個のことです．
測度ゼロは積分に効かない，という言い方もします．

でも，これじゃたぶんわからないですよね．

だんだん厳密性を欠いて来ちゃいますが，
もうすこし説明してみますか．

積分はもともと
lim(N→∞) (1/N) Σ(from j=1 to N) f(x_j) Δ_j
ですね．
幅Δの区間に分けておいて，その区間での関数の代表値 f(x_j)
と幅を掛けて足し合わせる．
単に足すと分割を細かくするにつれていくらでも値が大きくなってしまうから,
N で割っておくとちょうどよい．
で，最後に N→∞．
この中に一点だけおかしな点があったとします．
関数値が飛ぶとか，定義されていない，とか．
一点だけですから，そういう点を含むのは分割したうちの１区間だけです．
確かにその区間での関数の代表値はどうとってよいかわかりませんね．
でも，たった１区間だけですから，どうとっておいても，
(1/N) と N→∞ で寄与はなくなってしまいます．
こういうわけで，１個だけおかしな点があっても積分には関係ありません．
有限個でも同じ理屈ですね．

おかしな点を，ringo2001 さんの置換がうまくいかなくなる点と
思えばよいでしょう．

おかしな点が無限個あると少し困りますね．
そこらへんちゃんとやるには実数濃度の話が必要です．

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/27 18:35

直接の回答ではありませんが...

気分が悪いと仰るそのセンス、まことに健全です。
置換積分どころか
F(x) = integral (x^(-n)) dx = (-1/(n+1))(x^(-n-1)) +C (n>0) --- (*)
これからして既に「欺瞞」ですね。簡単に等号で結んでくれてるけどx=0の所はどうなるんじゃい。
ところが定積分をやってみるとこれは問題ない。x→0を計算しない限り変にならない。うまいこと出来てるもんです。で、ほんとにx=0の近辺を使いたくなると「広義積分」だの「コーシーの主値」だの、いろいろ怪しげなものが現れてくる。
　こういうのを気にしないヒトはいいんです。公式を暗記するだけのヒトです。でも、気になると仰るringo2001さんて、エライです。

是非とも、いっそワンランク上を勉強しちゃいましょう。
●超準解析学をちょこっとだけやってみてはいかがでしょう。「極限なしの微積分」というものの基本を軽く勉強しなおします。無限大や無限小を真っ向から取り扱えるので、イメージで攻めたい方には向いています。
並行して
●超関数論を少しやってみてはいかがでしょう。
上記(*)の式でnが偶数の場合、まともに扱うには(x^(-n))を超関数と見なす必要がある。
siegmund先生の御回答にあるとおり普通は「一箇所ぐらい変でも大丈夫」なんだけど、超関数になるとその一箇所が決定的だったりします。例えばデルタ関数δ(x)はx=0以外ではいつも0なのに、x＝-∞～∞の範囲で積分すると1になっちゃう。これも無限大や無限小を超準解析のセンスで取り扱えばどうって事はない代物です。
●ルベーグ積分。確かに筋から言うとsiegmund先生の仰る通りルベーグ積分（「一箇所ぐらい変でも大丈夫」の根拠）から入るんでしょうけど、stomachman的にはこれはアトでも良いんじゃないかと思うんですよ。

超準解析では、無限小・無限大の正しい扱い方のルールさえ身につければよい、という観点からは基礎理論は重要ではない。パスして構いませんし、基礎理論に手を付けるととても難しいからめげます。
超関数については、最初はフーリエ変換と超関数の関係を見ながら勉強していくのが一番自然であると思います。基礎理論は初めはパスするのが良い。
ルベーグ積分論は基礎理論にミソがある。それで優先度ラストです。

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/27 22:40

回答じゃないんですが，stomachman さんの回答見て，

大事なこと忘れていたのに気づきました．
ringo2001 さんみたいな姿勢は encourage しなくちゃね．

stomachman さんの言われるように，公式を鵜呑みにしないで真摯に考える
ringo2001 さんの姿勢はとても大切なことと思います．
私が昔読んだ朝永振一郎先生の本には，
次のようなことが書いてありました．

さっきのところ，何も疑問持たずに通り過ぎましたか？
そこは，20世紀を代表するような物理学者が非常に悩んだところです．
そこを簡単に通り過ぎられたあなたは，
そういう物理学者が足下にも及ばないくらい優れているか，
それともものごとを真剣に考えていないノンキ坊主か，
どちらかです．

今，手元に本がないのでうろ覚えですが，ぎくっとしますね．
それにしても，ノンキ坊主ってのは表現がきつい．

親しくしている数学者の某先生によりますと，
ringo2001 さんの疑問のようなところをさっと通り抜けてしまう人間には
２通りあるんだそうです．
まず，ノンキ坊主タイプ．
もう一つは，細かいことを議論しなくても，
やってもＯＫ，やってはいけない，というようなところ
が直感的にわかるタイプ．
危なくないことやっているうちは両者の違いは表に出ませんが，
落とし穴などあるところにいくとすぐわかります．

ノンキ坊主は論外として，
ちゃんと議論するタイプと直感タイプとはどちらがいいということは
ないと思います．
両方優れていればいうことないですが．
もしかして，左脳右脳みたいなものですかね．

ringo2001 さん，今の姿勢大切にしてくださいね．
あしたレポート締め切り，助けて～，という質問とは
月とすっぽん，雲泥の差です．


補足をひとつ．
δ関数(本当は超関数 － distribution ですが)持ってこられると
私の議論もそのままでは困っちゃいますね．
私流にやるなら，δ関数に収束する関数列を考えて，
異常部分につながるところからの積分へのの寄与が
1/N のオーダーでなくて１のオーダーであることを示すことになります．
難しくはありませんが，どうも本質からはそれるので
やめておきましょう．

stomachman さんが勉強の指針を示しておられるので，
ringo2001 さんも参考にしてみてください．
私？
私は物理屋なので，測度論など勉強するより先に
ディラックの「量子力学」，シュワルツ「物理数学の方法」，
ミクシンスキー「演算子法」などを読みました．
ルベーグ積分の本なんかはもっとあとでした．
実を言うと，ルベーグ積分の本で勉強したことは物理屋としての仕事には
直接にはほとんど役立っていないみたいです．
でも，間接にはきっと役にたっているはずですね．
勉強しといて損ってことはありません．

最近の学生は「・・・なんか勉強させられて大損した」
なんて平気で言ってきます．
大損はないだろ，ringo2001 さんを見習えっちゅうーの．
また，愚痴が出た．

なんだか，雑談になっちゃいました．

ringo2001 さんは学生さん？
ringo2001 さんみたいな学生欲しいな～．

この回答へのお礼

ありがとうございました。なんかほめていただいて(^^;)
こういう疑問って気にする人と気にしない人がいると思いますが、周りに気にする人がいないと、不安ですよね。疑問がもっともだ、とかいわれるだけでもほっとします。なんの本で見たかは思い出せないのですが、「数学者はほんの少しの道程でも道連れが欲しいものだ。」という言葉を見たことがあります。その気持ちすごくわかります。（私は数学者ではないですが。）自分の考えていることを共有してくれるひとがいるだけで心強いですね。
ちなみに私は学生です。が、siegmund先生の思うような学生ではないと思いますが…

お礼日時：2001/01/29 01:06

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/28 01:13

じゃ、今度は回答。

初めは、高校で習うリーマン積分のレベルで考えたらどうなのか。
●●不定積分て何ですか。何に使いますか。計算問題に出てくるだけ。現実の問題では最終的にはこんなもん要らないんです。と開き直ってみましょう。
　確かに微分方程式を解いて、一般解が不定積分で表される。そういうことはあります。でも、結局境界値に合うように「積分定数」なるへんてこりんを調節しますね。ですから本質的には定積分
F(a,x) = integral {s=a～x} f(s) ds
があれば良い。ここでF(a,x)をxの関数だと考えて、aの方はどうでもいいやってんで、「積分定数」なるものに押しつけた。これが不定積分。不逞の積分です。逆に言えば、aを決めてやれば、積分定数など出てこない筈じゃないか。
積分定数というのが、要するに曲者である。

●そういうわけでして、
sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
これをやったときにも、
t=1/x
を積分する場合でも、積分範囲の中に特異点(tが定義されない点)があったら、その前後をちょっと削って計算する。そして削る幅を→0にして、収束すればよし、おかしくなっちゃったらお手上げ（超関数論に行く）というのが正しい態度であろうかと思います。仰るとおりの意味で積分範囲が「不連続」です。

●この立場では、「収束すればよし」の場合、ホントの答じゃなくて収束値を書いちゃうんですね。だから等号の意味が違う。"="と書いてあっても「等しい」と「収束する」の違いがあります。
　「その収束値が、前後の値ときれいに繋がって微分可能である」という具合に行く場合、つまり関数として「連続」である場合、これはもう「等しい」と「収束する」は意地を張らずに同一視してしまった方が便利じゃないか。という訳です。たとえばフーリエ変換を勉強したら必ず出てくる
sinc(x) = (sin x)/x
という関数（シンク関数）があります。これ、x=0ではsinc(0)=1なんですよ。分母が0のくせに平気でこう扱う。もちろん x→+0でもx→-0でもsinc(x) →1に収束してくれて、しかもx=0で微分可能であるから、まあいいや、という事なんですね。

●じゃあ、
K(x) = integral {s=-∞～x} 1/(s^2) ds = (-1/x )
はどうなんだろ。x<0ならK(x)>0ですね。そりゃそうでしょう、被積分関数1/(s^2)はいつでも正ですもん。K(x)は正に決まってるじゃありませんか。
　ところが、x>0になったとたんにK(x) <0になります。被積分関数1/(s^2)はsによらず正なんですよ。それが何でK(x)<0になるんですか！！
　つまり、s=0のところで変なことが起こって、積分定数に相当する何かを勝手にいじっているに違いない。

●●そういうわけでリーマン積分から逸脱して、ちょっと超関数の世界を覗いてみましょう。
　或る無限小(凄く小さい正の値) ε>0 を考えて、
(1)　[1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|＜εなら Q/ε
という関数と考えます。（Qは未知数。）これはs=0のごく近辺以外では1/(s^2)と同じである関数です。そして、
S=integral{s=-∞～∞} [1/(s^2) ] ds = 0
とであることを要求して、Qを決めてみましょう。すると
S = integral{s=-∞～-ε} [1/(s^2) ] ds
　　＋integral{s=-ε～ε} [1/(s^2) ] ds
　　+integral{s=ε～∞} [1/(s^2) ] ds
S= integral{s=-∞～-ε} 1/(s^2) ds
　　＋integral{s=-ε～ε} Q/ε ds
　　+integral{s=ε～∞} 1/(s^2) ds
S= 1/ε ＋2Q +1/ε
S =0ですから、 2/ε + 2Q = 0　である。
ゆえにQ = -1/εである。つまり、
(1')　[1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|＜εなら -1/(ε^2)
は
S=integral{s=-∞～∞} [1/(s^2) ] ds = 0
を満たす。
　1/(s^2)の代わりにこの[1/(s^2) ]を使ってみますと、0<ε<x ならばどうなるか。
K(x) = integral {s=-∞～-ε} [1/(s^2) ] ds
　+ integral {s=-ε～ε} [1/(s^2) ] ds
　+ integral {s=ε～x} [1/(s^2) ] ds
K(x) = integral {s=-∞～-ε} 1/(s^2) ds
　+ integral {s=-ε～ε} (-1/(ε^2)) ds
　+ integral {s=ε～x} 1/(s^2) ds
K(x) = (1/ε) + (2ε/(ε^2)) + (-1/x+1/ε)
= (1/ε) + (-2/ε) + (-1/x+1/ε)
=-1/x
となる。みごとεは跡形もなく、そして、K(x)<0になってしまう。しかももとの公式通りですね。

●この [1/(s^2) ]というのが「普通の関数1/(s^2)を超関数(distribution, generalized function)として見たもの」なんです。s=0以外では必ず正の値を取っている筈の1/(s^2)であるのに、s=0の近辺無限小の幅(2ε)の所に-1/(ε^2)なんていう、つまり「無限大の二乗」というとてつもない巨大なマイナスの値がこっそり挟まっている。そのせいで、積分範囲がs=0を跨いだとたんに結果が負になってしまった。
こう考えないと辻褄が合わない。

このように特異点の所を「特異点じゃお手上げ」で済ませないためには、超関数の考え方が大変旨く行くんです。

★なおここで言う「無限小ε」は厳密に言えば、「0より大きいけれど、どんな正の実数より小さい。」つまり本当の数ではない。超限解析で始めて出てくるものですが、取りあえずは「うんと小さい」とだけ捉えておけば良いでしょう。

この回答へのお礼

素晴らしいご回答に脱帽します。有難うございました。
不定積分を定積分で定義するんですね。そうか、それならうまくいきそうです。
私の中では不定積分と定積分は別々に定義してから、微積分学の基本定理で関係付けるというようなイメージを持っていたものですから。
定積分から理論構築すればスムーズに行きそうですね。siegmund先生（stomachman先生に倣って、おふたりのことを先生と呼ばせてください。）もそういうことをいいたかったのですね。
ウィットに富む名回答を楽しく読ませてもらっているファンです。
毎日、回答数が凄まじいですが、お体には十分気をつけてくださいませ。

もうちょっとゆっくり検討してから閉めさせて頂きます。

お礼日時：2001/01/29 00:36

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/29 03:58

ringo2001さん<

siegmund先生はプロの物理の先生ですし、kawakawa教授を筆頭に、ほんまもんの先生方が沢山回答なさっている。

　ところがstomachmanは、OKWebに出てくるカテゴリーの中で「専門家」と言える所などない無添加100%の一般人ですんで、「先生」は畏れ多く、ご遠慮申し上げてます。まれに冗談で「師匠」呼ばわりされるのは「支障」と読み替えて笑ってますけど。
　ともあれまた楽しい質問期待してます。stomachmanの質問も覗いてみてください。よろしく。