角度の問題

子供の問題なのですが，解けないので困っています。もしわかる方がいらしたら教えてください。
三角形の角度の問題で，頂点を反時計回りにABCとした三角形があります。辺BC上に点Dをとり，ADを結びます。このとき，AB＝AD，BD＝AC，角ADC＝124度となりました。
このときの角DACの角度を求めよ。
いろいろやったのですが，角DAC+角DCA＝56度，というだけでそれ以上解けません。BD＝ACが何かの公式になるのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/29 02:01

lookaroundさん、こんにちは。

普通の図形的なやり方ではできないような気がしたので、三角関数を使って答えを求めてみました。

その結果、半端な値になったので、やはり普通のやり方では難しそうな雰囲気です。小学校六年生の問題とのことなので、誤植があるのかもしれませんね。

一応、どうなるのかを示してみます。

まず、

AD=AB=a
AC=BD=b
求める角度DAC=x

とおきます。

角CDA=124°より、角ACD+x+124=180より、角ACD = 56-x が成り立ちます。

点CからDの方向に長さCE=DB=bになるように点Eをとります。

三角形AECの面積は、(1/2)・b^2 sin(56-x) になります。…(1)

一方、三角形ADBは、AD=ABより二等辺三角形で、角ADB=角ABD=56度です。
故に、三角形ADBの面積は、(1/2)・ab sin56 が得られます。…(2)
また、頂角DAB=180-56×2=68度なので、この面積は (1/2)・a^2 sin68 とも書けます…(3)

これら二つの三角形の面積は、底辺の長さbで高さが共通なので等しくなります。

したがって、(1)～(3)より、

(1/2)・b^2 sin(56-x) = (1/2)・ab sin56 = (1/2)・a^2 sin68

これより、

b sin(56-x) = a sin56
b sin56 = a sin68

なので、辺々割って、sin(56-x)/sin56 = sin56/sin68
故に、

x = 56 - Arcsin( sin^2 56/sin68) ≒ 8.159392286度 … (4)

が得られます。これが答えですが、半端な値なので、小学生の範囲の図形的な方法ではなかなか解けなさそうな雰囲気です。


ところで、(1)のように面積を sinを使って求める方法を少し説明しておきます。

二つの辺の長さを p, q とし、その間の角度をθとすると、底辺を q としたときに、高さが p sinθ になるので、その三角形の面積は、

S = (1/2)・p sinθ・q = (1/2)・pq sinθ

と書けます。上の計算ではこの式を三回適用しました。


もし問題の読み違いや、計算違いがあったらすみません。

この回答へのお礼

なるほど，確実に数I～IIのレベルでしたね。
ところで今日答えがわかりまして，やはり問題が間違っていたようです。
まず，角ADCが110度であること，そしてBD＝ACではなく，
BC＝ACでした。
わかったとたん，なんだか脱力してしまいました。
いろいろと解法を考えていただいた皆さんに感謝します。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/08/30 20:52

No.11 回答者： takeches 回答日時： 2007/08/29 18:21

No.9です。

自分で「簡単に求められる」といっておきながら、とてつもない間違いでした。ＣＤ＝ＡＣでも、この場合は求められませんよね…

No.10 回答者： ny_bigappl 回答日時： 2007/08/29 17:29

すいません

どうやっても解けません・・・
やはり問題の出題ミスでは・・・

No.9 回答者： takeches 回答日時： 2007/08/29 07:54

これを真面目に解くならば

No.8のように、
b sin(56-x) = a sin56
b sin56 = a sin68
私もこれにしかたどり着きません。
三角関数があって、しかも連立方程式みたなになっているものは小学生には解けませんよね。

たぶんですね、そのプリントはミスプリしてます。
ＢＤ＝ＡＣではなく、ＣＤ＝ＡＣとセンセイはしたかったんだと思います。それなら答えは書きませんが、簡単ですよね。

No.7 回答者： debut 回答日時： 2007/08/29 01:43

何か妙な感じです。

∠Ｃ の角度が決まれば問題の角∠ＤＡＣ の大きさは決まる
わけなので、∠Ｃ をみてみます。
例えば、ＢＤ＝ＡＣ ＝２として、ＡからＢＤに垂線ＡＨ
を引けば、△ＡＢＤは二等辺三角形なのでＤＨ＝１です。
すると、ＡＨ＝tan56°。
また、△ＡＣ Ｈで∠Ｃ ＝θとすれば、sinθ＝ＡＨ/ＡＣ ＝
(tan56°)/２です。
そこで、電卓で逆関数を計算してみたら
θ＝47.840607709757264022545498136655・・・
とぴったりにならないのです。
じゃあ、ぴったりの角度でsin47°やsin48°が(tan56°)/２
に等しくなるか計算してみてもなりません。

この考えはどこか誤っているのかなあ？

No.6 回答者： KCC-BOSS 回答日時： 2007/08/28 22:05

ＡＣを対角線とする平行四辺形とＡＤを対角線とするものを作ればよいのではないでしょうか

No.5 回答者： shigao 回答日時： 2007/08/28 22:00

ＢＤ＝ＡＣを使うとすると

ＡＤを対角線とする平行四辺形をつくるんじゃないかな。
考えます。

No.4 回答者： shigao 回答日時： 2007/08/28 21:25

すいません。

間違いました。
もう一度考えます。

No.3 回答者： shigao 回答日時： 2007/08/28 21:19

ＡＣを対角線とする平行四辺形を考えてみてください。

角ＣＡＤは５６度
角ＡＣＤは６８度
だと思います。
もしあれでしたら
がんばって説明考えます。

No.2 回答者： ny_bigappl 回答日時： 2007/08/28 20:41

△ADCで

ｘ+y+124=180
△ABCで
56+y+ｘ+68=180

だとｘ＋ｙ＝５６で一緒になり解けないと思います。かなり難しい図形の問題だと思います。
質問者さまに質問です。この手の問題はもしかして中学受験や算数オリンピックの問題ではないかと思います。
一つ聞きたいのですが、この三角形ABCは、二等辺三角形ABD（６８、５６、５６）と三角形ADC（∠ADC＝１２４度）の三角形が合わさったものと考えていいのですか。図がないのでよくわからないです。

この手の問題は二つに分けた三角形を移動して違う図形にすることにより解くのが定石だと思うのですが、いろいろと移動させてみても出せません。もしかして思い描いている図形が違うのかもしれませんので、質問しています。AC=BDなので、ここを移動させてくっつけるのだと思うのですが。

三角形ABCは、二等辺三角形ABD（６８、５６、５６）と三角形ADC（∠ADC＝１２４度）の三角形が合わさったものと考えていいのですか

この回答への補足

　　　　　　　　　A
　　　　　　　　／｜＼
　　　　　　　／　｜ 　 ＼
　　　　　　／＿＿｜＿＿_＼
　　　　　B　　　　D　　　　C
非常につたない図ですが，上記のようになっています。
これで，AB＝AD,BD＝AC，角ADC＝124度，角DACを求めよ，です。
ご質問者さまのおっしゃることの回答になったでしょうか。
三角形ABDと三角形ADCがくっついたというか，三角形ABCの
BC上にDをとってAと結んだような形です。
問題のレベルはどうなんでしょう・・・。小6の学校の宿題です。
ほかの類題は，僭越ながら，こちらで教えられる程度のレベルでした。
これだけやたらと難しいので，もしかして間違ってるのか？と勘ぐって
しまいそうです。
よろしくお願いします。

補足日時：2007/08/28 21:09

この回答へのお礼

ありがとうございました。問題のミスということで
すっきりしました。
ちょっと先生に切れ気味ですが。お手間を取らせました。

お礼日時：2007/08/30 21:10