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【問】各辺の長さが2の正四面体ABCDの辺AD上に点Pがあり,辺BC上に点Qがある。
AP=t,BQ=2t(0≦t≦1)であるとき…

(1)PBの長さをtの式で表せ。
(2)∠PBC=Θとおくとき,cosΘをtの式で表せ。
(3)PQの長さの最小値を求めよ。

答え…
(1)PB=√t^2-2t+4
(2)cosΘ=1/√t^2-2t+4
(3)最小値 √55/5

上の問題で,図は書くことができるのですが
問題の導き方がわからないので
教えて下さい。お願いします。

A 回答 (5件)

>(t-3/5)+11/5になりますか?


 はい。正確には 5(t-3/5)^2+11/5 ですね。
 それで、t=3/5のとき最小値11/5ですが、これには
 √がついていたので、分母を有理化すれば答えの
 ようになります。
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この回答へのお礼

何回も教えて下さってありがとうございます。
やっとこの問題を解くことができました。
本当に助かりました!
ありがとうございました。

お礼日時:2007/08/30 21:22

No2です。


PQ^2=BP^2+BQ^2-2*BP*BQ*cosθに
BP=√(t^2-2t+4)、BQ=2t、cosθ=1/√(t^2-2t+4)
を代入すると、
PQ^2=(t^2-2t+4)+4t^2-2*√(t^2-2t+4)*2t*{1/√(t^2-2t+4)}
   =t^2-2t+4+4t^2-4t
   =5t^2-6t+4
よって、PQ=√(5t^2-6t+4)です。
あとは、5t^2-6t+4を2次関数の頂点を求める変形で
5(t^2-(6/5)t)+4=5(t-3/5)^2-9/5+4=・・・
とやっていけば最小値が求められると思います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

何回も申し訳ないのですが…
5t^2-6t+4を平方完成するということですか??
もしそうなら平方完成すると(t-3/5)+11/5になりますか?

よろしくお願い致します。

補足日時:2007/08/29 22:35
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(3)の補足説明で…



PQ^2=PB^2+BQ^2-2×PB×BQ×cosθ
   =(√t^2-2t+4)^2+(2t)^2-2×{(√t^2-2t+4)分の1}×2t×(√t^2-2t+4)
   =(t^2-2t+4)+4t^2-(t^2-2t+4)分の{4t(√t^2-2t+4)}
   =5t^2-2t+4-4t
   =5t^2-6t+4
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
(1)(2)で求めた答えをあてはめれば良かったんですね!
ありがとうございました。

お礼日時:2007/08/29 22:33

(1)(2)はNo1の方の余弦定理で。


(3)は、前問の結果を△BPQにおける余弦定理に適用して、
   PQ^2=BP^2+BQ^2-2*BP*BQ*cosθより
   PQは正だから、
    PQ=√(5t^2-6t+4) で、√の中の最小値を
   0≦t≦1で考えればいいのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

PQ=√(5t^2-6t+4)のところなのですが,
√(5t^2-6t+4)はどこから出てきたのでしょうか?
教えてくださいっ。

補足日時:2007/08/29 19:40
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(3)が解けなかったので、(1)と(2)にだけで。



(1)
☆余弦定理を使います☆
BP^2=t^2+2^2-2×t×2×cos∠ABP ※正四面体なので∠ABP=60゜※
   =t^2+4-4t×cos60゜
   =t^2+4-4t×2分の1
   =t^2-2t+4
よって、
BP=√(t^2-2t+4)
(2)
☆また余弦定理を使います☆
ABCDは四面体なので、線分ADから点B・点Cへの距離は等しい。よって、
PB=PC(△PBCは二等辺三角形である)
また、
θ=∠PBC=∠PCB
PC^2=PB^2+2^2-2×PB×2×cosθ
   =PB^2+4-4PBcosθ
この式↑を利用して、
4PBcosθ=PB^2+4-PC^2
cosθ=(PB^2+4-PC^2)÷4PB
  =(PB^2+4-PB^2)÷4PB ※PB=PC※
  =4÷4PB
  =PB分の1
  =√(t^2-2t+4)分の1
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
丁寧な説明でわかりやすかったので解くことができました。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/08/29 19:39

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