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証明問題なのですが、昨日から考えても導き出せないのでお力を貸してください。
2点A,Pの点Oに関する位置ベクトルを、それぞれa→,b→とする。次の事を証明せよ
直線OAに関してPと対称な点をR(r→)とすると、
r=(2p・a/|a||a|)aーp (ベクトルの入力がわからないので、省略します)
わかりにくい書き方ですが、分母は絶対値aの二乗です。
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

PR の中点 Q(q) を考えればわかりやすいかなぁ.


Q は OA上にあるので q = ka と書けます. 一方 PQ⊥OA なので (q-p)・a = 0 です.
この 2式から k を求めれば, Q の位置ベクトルが p と a で書けます.
あとは q = (p+r)/2 から.

この回答への補足

こんなに早くに回答いただけてありがとうございます。私の理解力不足なのですが、中点QがなぜPQ⊥OA になるのでしょうか。線分OAの垂線で点Pを通る線は線分OAを二等分するのでしょうか。中学レベルのことをお聞きしますが、回答をお願いします。

補足日時:2007/09/05 15:13
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#4です。

訂正です

式全体の|p+q|は、すべて |p+r| です。
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なんだか上手くいかないので、多分いろんな解き方があるのでは・・・。


(1)(2)(3)の条件で、
あとは、機械的な変形なので、
(1)(2)(3)の成立を良く吟味して下さい。
問題文を見ると、そんなに難しそうには見えないのですが、
意外に扱い難くて消化不良です。

また、θを登場させないと上手く説明できません。
PRの中点をMとして、
∠POM=∠ROM=θ として、
図では、見易い様に、PとRの位置を逆に描きます。
     P・・・・・・・・・・・・・・・・・O’
    ・  ・         ・ ・
   ・     ・    ・   ・
  ・      ・ M     ・
 ・   ・        ・ ・
O・・・・・・・・・・・・・・・・・R
図は、<ひし形>である事に注目して下さい。

(1)a/|a|=(p+r)/|p+q|
(2)cosθ=a・p/|a||p|
(3)|p|cosθ=|p+q|/2

(1) の意味は、両辺がのベクトルが、OO’上にあり、
   両辺共に、単位ベクトルである事から成立します。
(2) は内積の定義’で、良く見る式です。
(3) は∠PMO=90度より、
   図形的意味、(OPのOO’への正射影)により、
   左辺=|p|cosθ=OM、
   また、右辺=|p+q|/2=OO’/2=OM。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(1)を変形して、(11) (|p+q|/|a|)a=(p+r)
(3)を変形して、(33) 2|p|cosθ=|p+q|
(2)の cosθ を (33)に代入して、
        2|p|(a・p)/|a||p|=|p+q|
左辺を約分して、
        2(a・p)/|a|=|p+q|
最後に、|p+q| を (11)に代入して、
          (2(a・p)/|a||a|)a=(p+r)

   r=(2(a・p)/|a||a|)a-p
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え~と, 「直線OA に関して点 P と対称な点 R」ということから, PR⊥OA かつ P, R と直線 OA までの距離が等しいことがわかります. だから PR の中点 Q は OA上にあってかつ PQ⊥OA です. PQ と PR は同じものだってことに注意してください.


端的にいってしまうと, この問題の状況では 2次元平面で考えれば十分です. なので, 紙の上に図を描いて考えればほとんど明らかだったりします.
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この回答へのお礼

そうですよね、、、なんでこんなところでつまづいたんだろう。大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/05 17:36

点Pから直線OAに垂線を下ろし、その交点をQとします。

△OPQは直角三角形です。ここで、長さを考えるとOQ=(a・p)/|a| となります。
OQ→=((a・p)/|a|)((a→)/|a|)
PQ→=OQ→-p→=((a・p)/|a|)((a→)/|a|)-p→
PR→=2PR→=2((a・p)/|a|)((a→)/|a|)-2p→
OR→=p→+PR→=2((a・p)/|a|)((a→)/|a|)-p→
となります。
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