プランクの放射式

I=(8πhν^3/c^3)*(1/((e^(hν/kT))-1)を
波長λ120nmから180nmの範囲で積分したいのですが,わかりません.

ν=c/λです

A 回答 (2件)

ははあ,そういうことですか.


それなら,

(a) Tを sweep して U の値を数値積分で求める.
で,実験値と比べればOK.
はじめは荒く sweep して,近いところをまた細かく sweep すればよい.
つまり,T 対 U の数表を作るようなものです.
能率良くやるなら2分法で幅を狭めていけばよいですね.

(b) 120 nm というと,hν/kT = h/λkT で温度に換算すると10万度くらいですか.
温度 T が10万度よりずっと大きければ,
積分領域は t << 1 ですね.
したがって,t = 0 周りの展開を使って
t^3/(e^t-1) ≒ t^2 - (t^3 / 2)
で積分を解析的に実行すればよい.
第1項だけとって大体十分でしょうが,第2項が今の近似への補正の目安を与えます.

逆に T が10万度よりずっと小さいのなら,積分領域は t >> 1.
t^3/(e^t - 1) = t^3 e^(-t)/{1 - e^(-t)} ≒ t^3 e^(-t) + t^3 e^(-2t)
と展開して積分を解析的に実行すればよい.
ここでも,第2項が今の近似への補正の目安を与えます.

積分値の実験値がわかっているのですから,
ちょっと電卓叩けば(b)のどちらのケースかわかりますが,
ちと面倒になってきました.
あとはおまかせしましょう.

(b)の方が利口なやりかたですね.
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プランクの放射式は,


振動数がν~ν+ dνの間にある放射エネルギー密度I(ν)dνである,
というものですね.
I(ν)は hbw さんの書かれているように
I(ν) =(8πhν^3/c^3)*(1/((e^(hν/kT))-1).
です.
だから,λ1 から λ2 までなら,ν2 = c/λ2 から ν1 = c/λ1 までで
U = ∫{ν2 ~ ν1} I(ν) dν
を計算すればよい.
ν = c/λ ですから,νとλの大小関係は逆転していますね.
それで,積分が ν2 から ν1 までです.

さて,指数関数の肩のところを
hν/kT = t
とおくと,積分が簡単な形に整理できて
U = (8π k^4 T^4/c^3 h^3) ∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt
になります.
t2 と t1 は,それぞれ ν2 と ν1 に対応します.
t は エネルギー hν をエネルギー kT で割った量ですから
物理的次元のない量ですね.

で,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は残念ながら解析的にはできません.
でも,λ1 = 120 (nm) と λ2 = 180 (nm) は決まっているのだから,
温度を決めれば t2 と t1 は決まりますね.
つまり,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は単なる数値を与える積分に過ぎません.
具体的には,T を決めて(つまり t2 と t1 を決めて)数値積分をすればよい.

なお,全波長について積分すれば(νがゼロから無限大),
t2 = 0,t1 = ∞ で,
定積分は π^4/15 になることが知られています.
つまり,定数部分をσに押し込めてしまうと U = σT^4 になっていて,
これは Stefan-Boltzmann の法則ですね.

式は間違っていないと思いますが,念のためチェックしてくださいね.
タイプミス,なんて可能性もあるので.

この回答への補足

回答ありがとうございます.
siegmundさんの説明してくださったとおりなんですが,

実はその温度Tを求めたいのです.
積分値は,実験で求めていまして,160*10^6J/m^2なんですよ.
でそれから,プラズマ温度を見積もろうと思ってるのですが・・・

補足日時:2001/01/28 23:20
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