No.1ベストアンサー
- 回答日時:
例えば、f:(0,1)→R(実数体)が一様連続とすると、
あるδ>0が存在し、任意のx∈(0,1)と任意のy∈(0,1)に対して、
|x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<1となります。
x_0=0
x_1=δ
x_2=2δ
…
x_n=nδ
…
として、点列{x_n}を作れば、点列の作り方により、ある自然数mが存在し、x_m>1が成り立ちます。
そこで、k=min{n|x_m>1}-1と置きます。
また、M=max{ |f(x_n)| | n=1,…,k }と置きます。
xを(0,1)の任意の実数とします。
あとはx_1,…,x_kのなかから、最もxに近いx_nをx_sとおくと、
x_sの選び方により、|x-x_s|<δが成立します。(何故でしょう?)
あとは、「三角不等式」と三行目に書いた「|x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<1」とMをどう定義したかに注意すれば、
|f(x)|は有限の値で抑える事ができそうです。
No.2
- 回答日時:
f(x)が(0,1)で一様連続ということは、任意のε>0に対して、(0,1)の
中のx,yが|x-y|<δならば、|f(x)-f(y)|<εとなるδが取れるという
ことです。
ポイントはこのδはεにしか依存しないということで、(0,1)の中で
共通に取れるということです。
閉区間で連続な関数は有界なので、もしf(x)が有界でないとすれば、
f(x)は0か1のところで∞か-∞に発散していることになります。
ここでは、1のところで∞に発散しているとします。
一様連続の仮定から、(1-δ,1)の中のx,yについては、|f(x)-f(y)|<ε
が成り立ちます。
絶対値を外すと、f(y)-ε<f(x)<f(y)+εとなります。
ここで、yを固定して考えると、(1-δ,1)の中の任意のxに対して、
f(x)は(f(y)-ε,f(y)+ε)の区間に収まることになり、f(x)が1のところ
で∞に発散することに反します。
他の場合も同様です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 避難所・仮設住宅 大学の講義で、災害時、避難所生活における福祉的なニーズを考える課題を与えらえたのですが、さっぱり、避 2 2022/12/11 23:11
- 大学・短大 私の中の差別的な価値観について、嫌悪、つらい 6 2023/01/25 03:47
- 大学・短大 (工学部)とある数学の講義(必修)を自主休講しようか悩んでいます 7 2022/11/19 21:21
- 予備校・塾・家庭教師 高校生の男です。塾の先生と距離を積めるのにいい方法はありませんか...? 僕の通ってる塾に、超美人で 5 2023/07/07 21:13
- 学校・仕事トーク 高校生の男です。塾の先生と距離を積めるのにいい方法はありませんか...? 僕の通ってる塾に、超美人で 1 2023/07/08 19:20
- 大学・短大 (工学部)教科書を丸写しするだけの数学の講義 14 2022/07/31 12:26
- 教育学 みなさん、こんばんは。 こちらの並行列の制御工学問題の解き方が分かる方や解き方のコツが分かる方はぜひ 1 2022/04/27 22:22
- 予備校・塾・家庭教師 中学生です。 大阪府高校入試の数学C問題(一番難しい問題)って、賢い大学生にとっても難しいんですか? 2 2023/06/18 22:08
- 中学校 中学生です。 高校入試の数学の問題って、賢い大学生にとっても難しいんですか? 私が通ってる塾に大学生 7 2023/06/29 23:04
- 哲学 美大に通っている者です。哲学の講義を履修しているのですが、先日の講義中に出された課題について分からな 4 2022/06/24 14:39
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
極限、不連続
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
ニュートン法について 初期値
-
数学についてです。 任意の3次...
-
f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最...
-
「次の関数が全ての点で微分可...
-
教えていただきたいです! 原点...
-
∫dx がどんな属性・意味を持つ...
-
n次多項式f(x) f(x^3)の最高次...
-
問 任意の実数a,bと実数関数f(x...
-
f(x) を周期 T >0 の周期関数と...
-
ほんとに何度もすみません。 ど...
-
∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積...
-
マクローリン展開
-
フーリエ変換できない式ってど...
-
数学 2次関数y=f(x)=(x-a)^2 +...
-
Gnuplotについて エラーメッセ...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
lim(x→0)sinx/x について、ロピ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
数学の主表象とはなんですか?W...
-
微分について
-
二次関数 必ず通る点について
-
yとf(x)の違いについて
-
"交わる"と"接する"の定義
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
次の関数の増減を調べよ。 f(x)...
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
因数分解
-
次の等式を満たす関数f(x)を求...
-
微分の公式の証明
-
左上図、左下図、右上図、右下...
-
数学の洋書を読んでいて分から...
-
【数3 式と曲線】 F(x、y)=0と...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
xの多項式f(x)最高次の項の係数...
-
積分の問題。次の条件を満たす2...
おすすめ情報