水の中に沈んでいるコインはなぜに真上に見えるのか

水の中に沈んでいるコインはなぜ真上に浮いて見えるのでしょうか。調べてみても分かりません。ご存じの方教えて下さい。

No.13 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/20 17:23

＞L'/L＝n2/n1

を利用して遊動顕微鏡で屈折率を測定することができます。

できると思います。＃１１にも書きましたが屈折率を作図で求めるときに使う方法です。
屈折率の表現の中にあるsinθ1、sinθ2に対応する長さを幾何的に求めて計算します。
この式が間違っていると言っているのではありません。どこに見えるかという位置をこの式が示しているということは成り立たないと考えています。　

この回答へのお礼

何回にもわたって、とても詳しい回答をいただきましてありがとうございました。浮き上がって見える様子を書きなさい、との問題がよく出題され、その度に説明に困っておりました。教えて頂いたことをしっかり理解して、納得いく説明をしてやりたいと思っています。ほんとうに感謝いたしております。

お礼日時：2007/10/21 21:11

No.12 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/20 15:56

また、ちなみにですが、

L'/L＝n2/n1
を利用して
遊動顕微鏡で屈折率を測定することができます
大学の実験でよくやります。
べつに信じなくてもいいですが

この回答へのお礼

何回にもわたって、とても詳しい回答をいただきましてありがとうございました。浮き上がって見える様子を書きなさい、との問題がよく出題され、その度に説明に困っておりました。教えて頂いたことをしっかり理解して、納得いく説明をしてやりたいと思っています。ほんとうに感謝いたしております

お礼日時：2007/10/21 21:12

No.11 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/20 14:00

＞L'/L＝n2/n1が成り立つ。

成り立たないと思います。

屈折率は角度だけの関係を示します。
屈折は2つの媒質の性質だけに関係します。コインとか容器の中の形状に関する情報は含んでいません。Ｌはコインまでの距離、Ｌ’は目に入る光を逆に延長してコインに立てた鉛直線と交差させたときの距離のはずでした。こういう具体的空間情報を屈折率の式は含んでいません。
媒質の性質に含まれる長さに関する情報は波長だけです。
Ｌ１、Ｌ２を媒質１，２の中での波長とすると
L１/L２＝＝sinθ1/sinθ2　
です。これはホイヘンスの原理から出てきます。

作図でsinθ1、sinθ2に対応する長さを作ると三角関数表を使わなくても長さの測定だけで屈折率を求めることができます。
円を描いて光線との交点を求め、水面に平行な線を引くという方法は教科書に載っています。円を使う場合は斜辺を共通にしています。今考えている図では対辺を共通にしています。どちらも同じ内容のものだと思います。実験的に２つの角度（光路）が決まれば作図により屈折率がわかるというときに使う方法です。
どう見えるかは視覚の問題ですから屈折率の式とは別のものです。別の考察が必要です。

何度も書いていますが「光がある点から出たように見える」(1)ということと「その点を通るような方向から来たように見える」(2)とは別のことです。（２）は一本の光路で決まります。（１）は２本の光路が必要です。レンズによってできる像を考えるときも必ず２本の光路を使って作図します。

なお＃９での考え方は参考ＵＲＬに沿ったものですが私自身まだ納得しているわけではありません。別の立場、別の考え方があるように思っています。両方の目が水平の位置にある（顔を傾けていない）として見える位置を考えると異なる結果になります。
2つの考え方で結果が異なることで悩んでいます。

No.10 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/17 21:03

一応確認しておきます

n2/n1=は入射角、反射角によらない
まっすぐ入射するとき
L'/L＝n2/n1
が成り立つ。

ここで、
角度がついたとき
n2/n1＝sinθ1/sinθ2　
すなわち、入射角と屈折角の比は入射角によらず一定。
この２つから
L'/L＝＝sinθ1/sinθ2　
となり、
”結果として”　真上に浮いて見えます。
L'/L＝＝sinθ1/sinθ2　
は真上に浮く図からだしたものではありません。

No.9 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/17 18:59

何とか計算ができました。

間違っているかもしれませんがあまり遅くなってもいけませんので書いておきます。
内容的には参考ＵＲＬに書かれているものと同じです。手前にずれます。でもこれは目で見てわかりません。硬貨も底も相対的な位置関係を変えずに浮き上がるのですから判断できないのです。よく教科書や問題集に書いてある硬貨だけが浮き上がって見える図はいい加減なものです。底にマジックペンで印をつけるという設定だと全体が浮き上がる図を描かなくてはいけないということがわかるのでしょうが。
参考ＵＲＬをもう一度お読みください。

計算結果を書いておきます。
使う文字は＃８の回答でのものと同じにします。深さＨの水の底の点Ｐから出た光が水面で屈折し目に入ります。鉛直線に対しての水中での角度がθ1、空気中での角度がθ2です。この２つの角度は屈折率で結びついています。ｎ＝sinθ2/sinθ1です。屈折後の光路を逆に延長してＰに立てた鉛直線との交点をＰ’とします。点Ｐ’の深さＨ’は
H'/H＝tanθ1/tanθ2　で決まります。
今までの議論はこのＰ’がＰが浮き上がって見える見かけの位置かどうかでした。このＰ’の方向にあることは確かですがその線上のどこにあるかを決める議論が抜けているということを指摘しました。真上から見たときにはまっすぐ真上に進む光と少しずれて屈折して進む光の両方が目に入るとしてＨ’／Ｈ＝１／ｎを導くことができます。鉛直線は基準線ではなくて光路のひとつなんです。

そこでθ1でＰから出て行く光とθ1＋ｄθ1で出て行く２つの光路に対応する屈折を考え逆に延長して交点を求めるということをやってみました。Ｐ’の位置から手前にｄのところで深さがｈ浅くなって見えるという結果になりました。
ｄ＝Ｈ’tanθ1・tanθ2（１－（cosθ2/cosθ1）＾２）
ｈ＝ｄ／tanθ2
です。
θ1→０のときθ2→０ですからｄ→０となります。これは検算です。
θ1＜θ2ですから　cosθ2/cosθ1　＜１です。ｄ＞０が成り立っています。

この式は参考ＵＲＬには載っていません。図６で模式図が示されているだけです。私はこの図が理解できなかったのですが自分で計算してやっとイメージが取れました。

No.8 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/16 15:55

真上から見たときの浮き上がりを考える図と斜め横からから見たときの浮き上がりを考える図とは角度の大きさに違いがあります。

でもたいていは同じ図が使われています。

質問されているのは斜めに見た場合です。
問題になっているのは目に入る光の道筋を逆に延長して鉛直線と交わる点を見かけの位置としていいのかということです。いいというのはどうして決まるのかです。
屈折の式（スネルの法則を表す式）自体は角度の関係だけを決めるものです。見かけの位置を決めるものではありません。
L'/L＝sinθ1/sinθ2
H'/H＝tanθ1/tanθ2（深さを表す関係）
は同じ図を使って求められます。
この図と無関係に式があるのではありません。この式から真上にあるということを導いても意味がありません。式の前提を確認しただけです。

真上から見たときは真上に浮き上がります。これは当然です。この時深さH'のところを光源の位置としていいというのは底から出た光がまっすぐ上に進むのと屈折して進むのとがθ→０のときにともに目に入るからです。Ｈ’／Ｈ＝１／ｎになります。見る方向が真上から少し変わっても見える位置はほとんど変わらないだろうと考えるとやはり１／ｎは成り立ちます。でも大きく変わるとどうなるでしょう。
斜めに見た場合は一本の光路を考えている限り方向はわかっても距離はわかりません。L'は鉛直線からの距離ということはできても見かけの位置までの距離であるとはまだ決まっていないのです。

教科書の記述に対して疑義が出されたのもこの点に関してです。
結果としてやはり真上に見えるということになるかもしれません。手前に見えるということになるかもしれません。
いずれにしても新たな考察が必要でしょう。

目に入る光路をθ1とθ1＋dθ1と2つ考えて延長して交点を求めるという作業で求められるのかもしれませんがまだ成功してはいません。

No.7 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/15 20:19

真上に浮き上がるための作図じゃなくて

まっすぐ上からみてても
１ｍにあるものは７５ｃｍにあるように
みえます。

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/15 18:45

＃３＃４です。

＃５で使われている式
L'/L=sinθ2/sinθ1
は真上に浮き上がるとして作図して出したものだと思います。だから真上に浮き上がるという証明にはならないと思います。
この図自体はたいていの教科書に載っています。
作図では目に入ってくる光を逆に延長した線と鉛直線との交点を求めています。この点と屈折点との距離をＬ’としています。
どこに見えるかは視覚的なものが問題になります。一本の光路だけでは決まりません。
真上から見たときの浮き上がりの式としてこの式を使うのはいいと思います。角度が小さい場合です。深さが１／ｎになって見えるという結果です。
真上から見たときにはまっすぐ真下から来る光と少し横にずれて出てくる光の両方がひとつのレンズ（瞳）を通って目に入ってきます。このときは一点から出てくるようになっているところが見える場所だということは言えると思います。目に入ってくる２本の光路を考えていることになります。レンズの作図では必ず一点から出る２本以上の光路を考えます。
今考えているコインの場合でも２本の光路を考えて計算しなければいけないように思います。その結果真上になるか、手前になるかはまだわかりません。

補足です。
よく教科書にはコインが浮き上がっている図が書かれています。でもコップの底も同じように浮き上がっているのですから全体が浅くなって見えるということです。コインだけが浮いているのではありません。コインとコップの底との相対関係は変わりませんので「真上に」ということを判断するのも難しいことだと思います。簡単な実験では調べようがないのです。
参考ＵＲＬの松川氏はお風呂の中で鎖をたらして調べる方法を提示しておられます。水面下の部分から屈折して出て来る光の像と水の外の部分から水面で反射してくる光の像とを重ね合わせて観察するとわかるというのです。私もやってみました。でも彼の言うようにはなりませんでした。

難しいですね。
改めて計算してみようとは思いますがこの質問に回答するところまでは行けないかもしれません。

No.5 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/15 11:54

スネルの法則から

見える方向は屈折率 n1 n2
入射角θ１　屈折角　θ２
（入射側１）
とすると、
n2/n1=sinθ1/sinθ2
できまる角度で屈折していきます。
その線にそって、どれだけ遠くにあると感じるか。
実際の物体のある点と、屈折した線の水面との交点（入射した点）
の距離をLとし、見掛けの位置（屈折角の方向）と入射点の距離をL'とすると、
　L'/L=sinθ2/sinθ1
で変化して見えます。
水の場合には　屈折率１．３
で１ｍは　７５ｃｍになって見えます。
L'*sinθ1=L*sinθ2
で
図に描くと水面に沿った方向の長さが同じになることがわかります。
（中学で出てこない三角関数のsinについては調べてください）
したがって、真上に上がっているように見えます。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/14 19:21

＃３です。

少し補足します。

たいていの教科書には水の底のコインから出た光が水面で屈折して目に入るという図が描かれています。目に入った光の方向を逆に延長して鉛直線との交点を求めています。その点が浮き上がりの位置だということです。でも「鉛直線との交点」を考えるということで既に「真上に浮き上がる」ということを前提にしています。「真上に」ということは証明されていません。

2つの目が水平になっているときは両方の目に入ってくる光の方向を逆に延長すると鉛直真上で交差するということが言えそうです。でも顔を少し傾けて2つの目が水平でなくなると交点が真上であるとは言えません。必ず交点があるとも言えません。（私には証明できません。）

参考に挙げたURLでは片方の目で議論しています。目の瞳のサイズを考えています。手前になるということですが読んでも充分に理解できませんでした。でも教科書はかなりこの線で書き換えられているということが書かれています。