小５の算数で教えて下さい。

Question

小学５年の算数です。
問
クラス全員で３０人の生徒がいます。
A、Bという二問の問題を解きましたがAの問題に正解したのは１８人でした。
Bの問題に正解したのは２０人でした。
A、B両方の問題に正解したのはA、B両方の問題を間違えた人数の５倍でした。
両方の問題に正解したのは何人だったでしょう？

と言う問題です。
正解は１０人です。
３８ー３０＝８
８÷４＝２
２×５＝１０
のような説明をしたのですが何故４で割るのかが子供には理解出来ません。
自己流ですのでこの方法での答えの出し方自体間違えてるのかも
しれないのですが、どなたか上手く説明出来る方法を教えて下さい。

hukuponlog · Accepted Answer

いわゆる「資料の整理」or「場合の数」という単元の発展問題ですね。ちょっと難しい。
こういう場合、表を作って考えさせるのが、学校では常道です。

Aの問題で12人の人が不正解です。そこで、この12人の人がBの問題
について、どうなっていくかを考えます。

・仮に、12人の人がBの問題について全員正解したとすると
下の表のようになります。Aの不正解者全員がBでは正解したとすると
両方を不正解の人間は0となり、Bの正解者20名のうち、12名以外
（20-12=8）は2問正解したことになります。

A不正解
　&
B正解者　　残り人数(2問正解者）　　両方の不正解者
12　　　　　　8　　　　　　　　　　　　　0
11　　　　　　9　　　　　　　　　　　　　1
10　　　　　　10　　　　　　　　　　　　 2　
9　　　　　　　11　　　　　　　　　　　　3
8　　　　　　　12　　　　　　　　　　　　4

「場合の数」の単元では立式を求めない設問が普通ですから
このやり方でもテストでは○をもらえると思います。

あえて式をたててやるとすると
12+10=22　　aを間違えた、bを間違えた、両方間違えた人の数
最低1問正解している人数は20人（bの正答者数）
22-20=2　2問不正解者の数
2問正答者はその5倍だから2×5=10　かなぁ。

msz1124 · Answer

他の方々の言う通りベン図を使うのが一番分かりやすそうですね。。。
ベン図を使いながら答えの可能性と言うか範囲から考えるのはどうでしょうか。
A・B共に正解するのは最高で18名。
クラスの人数が30であることから、最低は8名。
と言うことは、答えは必ず8～18の間と言うことになります。
そして
＞A、B両方の問題に正解したのはA、B両方の問題を間違えた人数の５倍でした。
と言う事から、両方の問題を間違えた人数は2か3です。
両方間違えた人数が4名の場合、
４×５＝２０
となり、両方正解する最高人数を超えてしまいますし、
０や１の場合
０×５＝０
１×５＝５
となり、こちらは最低人数を下回ってしまいます。
あとは残りの２か３を計算するだけで答えは出ますね。
この時両方とも正解している人の計算式としては、
私はＡの場合を基準に考えたので、
Ａの不正解者の内Ｂのみの正解者は
３０－１８－答えの可能性（２or３）＝Ｂのみの正解者
ですから、両方共に正解した人数は
２０－Ｂのみの正解者＝両方正解の人数
で、求められます。
あとは、上の計算で出た答えが代入した答えの可能性の５倍になっているかの確認で終わりです。

…わかりにくいかな。
わかりにくいですし、今回のように答えの可能性が２つだけの場合はまだ良いとして、多くなると大変ですね。
そう思うと他の方の考え方々が良さそうです。

max39kw · Answer

こんにちは、小５の教え方ではないかもしれませんが、
＞A、B両方の問題に正解したのはA、B両方の問題を間違えた人数の５倍でした。
から考えると両方不正解が１人の時両方正解が５人となり、合計人数は
１８人（Ａ正解）＋２０人（Ｂ正解）＋１人（ＡＢ不正解）－５人（ＡＢ不正解）＝３４人
となりクラス全員の数と合いません。（４人多くなります。）
不正解が２人になると１８＋２０＋２－１０＝３０人
クラス全員の数と合うので答えは　１０人

わかりづらいかな

DONTARON · Answer

全員で３０人でＡに正解した人数が１８人でＢに正解した人数が２０人なので
　（１８＋２０)－３０＝８人は両方正解した人数から両方間違えた人数の差です。
　次の部分が説明が難しいので少し変かもしれませんが、
　両方正解した人数が両方間違えた人数の５倍なので
　８人の中には両方正解した人数が両方間違えた人数の(５－１)倍分の人数がいることになり
　８÷(５－１)＝２人が両方間違えた人数となり
　２×５＝１０人が両方正解した人数となります。
　少し変な説明だったかもしれません。

age_momo · Answer

子供に計算を見せてもなかなか理解できないと思います。
図を描くのが一番理解してもらえると思いますが、集合でよく使う
ベン図だとやはり、解答には近づきにくいでしょう。
(ただし、ベン図は集合を考える基本ですから理解はしてもらう必要があります）

両方解けた人が両方解けなかった人の5倍なので
|-|-|-|-|-|  両方解けた人
|-|　　両方解けなかった人
と表すとして、全体は下のようになります。

|____________|-|-|-|-|-|________|-|

ここでAが解けた人18人は

|____________|-|-|-|-|-|

Bが解けた人20人は

　　　　　　　|-|-|-|-|-|________|

です。これを別の紙に書いておいてBが解けた人の分をひっくり返して
Aを解けた人の後ろに付けてみましょう。
(Aが解けた人とBが解けた人の分が重ならないように)
すると

|____________|-|-|-|-|-|________|-|-|-|-|-|

クラス30人は

|____________|-|-|-|-|-|________|-|

|-|が4つはみ出ます。計算は（１８＋２０）－３０＝８

|-|一つは　８÷４＝２

両方解けた人はこれが５つなので

２×５＝１０

１０人と分かります。

debut · Answer

やはり、図的に説明するのがわかりやすいかと・・
３０人のうちわけは
　Ａだけ正解＋Ｂだけ正解＋両方正解＋両方間違い
３８人のうちわけは
　Ａだけ正解＋Ｂだけ正解＋両方正解＋両方正解
３８－３０をすれば
　両方正解－両方間違い、と、差が求められます。
両方正解は両方間違いの５つぶんなので、この差は
両方間違いの４つぶんなので・・・

３８・・｜Ａだけ○｜Ｂだけ○｜－両方○－｜－両方○－｜
３０・・｜Ａだけ○｜Ｂだけ○｜－両方○－｜両方×｜
引き算を、共通なものを消していく感じで・・

0lmn0lmn0 · Answer

Ａ、Ｂ
○、×　　　　　　　　｜　　　　　　　　　
　　　　　１８人　　　 ｜
○、○　　　　　　　　｜ 
　　　　　２０人　　　 ｜  
×、○　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　｜
×、×　　　　　　　　｜ ３０人

Ａ正解と、Ｂ正解の合計３８は、
Ａのみ正解と、Ｂのみ正解、２＊両方正解、の合計３８。

３８ー３０＝８　は、
両方正解と、両方不正解の差　８になっている。
（○×、×○、○○、○○）－（○×、×○、○○、××）＝８

両方正解が、両方不正解の５倍とすると、
□□□□□　　　　　　□
両方正解と、両方不正解の差８は、両方不正解の４倍。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□
８÷４＝２　で、両方不正解　２が現れて、
２×５＝１０　で、両方正解　１０が求められる。

という教え方ですね。良い方法と思います。

Ａ、Ｂ
○、×　　　８　　　　　　　　　　
○、○　　１０　　　
×、○　　１０　　
×、×　　　２

akira47 · Answer

クラス全員=Aのみ正解でBを間違えた＋A,B共に正解＋Bのみ正解でAを間違えた＋A,B両方間違えた、となります。
Aの問題に正解=Aのみ正解でBを間違えた＋A,B共に正解
Bの問題に正解=Bのみ正解でAを間違えた＋A,B共に正解
Aの問題に正解＋Bの問題に正解=Aのみ正解でBを間違えた＋A,B共に正解＋Bのみ正解でAを間違えた＋A,B共に正解となります。
ここで、A、B両方の問題に正解したのはA、B両方の問題を間違えた人数の５倍を使用します。
Aの問題に正解＋Bの問題に正解=Aのみ正解でBを間違えた＋A,B共に正解＋Bのみ正解でAを間違えた＋A,B共に間違えた＋４倍のA,B共に間違えた
１８＋２０=３０＋４倍のA,B共に間違えた、となります。

BookerL · Answer

＞子供には理解出来ません。

　私にも理解できません。というか、最初の式でいきなり ３８ が出てきているのも理解できません。「３８」など、問題のどこにもなく、何の説明もなく持ち出されています。

　単に式を羅列するのではなく、それらの式がどういう事柄を表しているか、を明確にする必要があります。
　質問者の書かれた式を解読すると、次のようなことでしょうか。

　Ａだけの正解者（以下Ａ）＋Ｂだけの正解者（以下Ｂ）＋両方の正解者（以下ＡＢ）＋両方不正解者（以下Ｘ）がクラスの全員３０人です。
　Ａ＋ＡＢが１８、Ｂ＋ＡＢが２０なので、「Ａの正解者＋Ｂの正解者」の３８にはＡＢが２回数えられています。
　これと Ａ＋Ｂ＋ＡＢ＋Ｘ＝３０ との差 ８ は、ＡＢとＸの差に等しくなります。
　つまりＡＢ－ｘ＝８
　そして、ＡＢ は Ｘ の５倍なので、ＡＢ－Ｘ は Ｘ の４倍です。
　だから、Ｘは ８÷４ で ２ と求められます。
　最後に、ＡＢはＸの５倍なので、２×５ で求められます。

　という風な説明になるでしょうか。

　「Ａ＋Ｂ＋ＡＢ＋Ｘ＝３０ との差 ８ は、ＡＢとＸの差に等しい」というあたりが子どもに理解しにくいところでしょうか。ベン図でも使うとよさそうです。

　※未知数を使って一次方程式を作れば簡単ですが、小学生では使わないことになっているので、回りくどい説明になってしまいますね。

10ken16 · Answer

Aに正解した人数をn(A)
Bに正解した人数をn(B)
両方正解した人数をn(A∩B)
両方間違った人を、n*(A∪B)
とすると、

n(A)＝18
n(B)＝20
ここで、n*(A∪B)=Nとすると、
n(A∪B)＝30-n

一方n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)から
30-n＝18+20-5n
従って
n＝2
n(A∩B)=5n=10

ベン図を用いて考えましょう。

小５の算数で教えて下さい。

いわゆる「資料の整理」or「場合の数」という単元の発展問題ですね。

他の方々の言う通りベン図を使うのが一番分かりやすそうですね。

こんにちは、小５の教え方ではないかもしれませんが、

全員で３０人でＡに正解した人数が１８人でＢに正解した人数が２０人なので

子供に計算を見せてもなかなか理解できないと思います。

やはり、図的に説明するのがわかりやすいかと・・

Ａ、Ｂ

クラス全員=Aのみ正解でBを間違えた＋A,B共に正解＋Bのみ正解でAを間違えた＋A,B両方間違えた、となります。

＞子供には理解出来ません。

Aに正解した人数をn(A)

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