何と説明すれば・・・

先日、ある問いかけをされたのですが答えに困っているおバカな私に教えてください。
小数、分数を覚えたお子さんになのですが
「ボールが地面に向かって落っこちて行くときボールと地面の間は短くなるでしょ？」
「ボール５個分から１個分それから1/2、1/10、1/1000・・・って」
「無限にあるから地面に落ちないんじゃないかと・・・」（意味分かりますか？）
何と説明して良いか・・・
小学生にも分かり易いお答え宜しくお願い致します。

No.15 回答者： aster 回答日時： 2002/08/28 21:36

　

純粋に形式化すると、「ゼノンのパラドックス」になります。ゼノンのパラドックスは，数学の問題ではなく、哲学の問題なのですが、それがわからない人もいます。無限級数は０に収束するというような回答です。

しかし、ここでは、理論的ではなく、実際の物理的条件で考えるのがよいでしょう。弾性体の反発係数は理論的には一定ですから、重力がボールを引っ張っているというだけでは答えになりません（やはり収束無限級数になるからです）。

（跳ね返って重力に抵抗して上に上がるのに「最低」のエネルギーが必要というのはありません。最低のエネルギーなどないのです。最低のエネルギーがあるのは、摩擦や、衝撃吸収や空気抵抗で、エネルギーが奪われるから最低限度があるのです）。

パラドックスを回避する当面の答えは、第一に、何故、ボールは下に落ちるのか尋ねることです。答えは、地球が「重力」で引っ張っているです。

次に、なぜ、跳ね返ってまた上に上がって来るのか尋ねてみてください。答えは、弾性のあるものは、跳ね返るということです。（弾性がない粘土は、跳ね返らないで、ぺちゃと、地面に落ちます）。

そこで、肝心なことは、跳ね返ったボールは、上に昇る途中、空気の抵抗に会うということです。

空気に抵抗があるということは、紙を上から下に落とすと、ひらひらするので説明できるでしょう。また、またティッシュを折れ曲がらないように横に伸ばして、先の方に空気が当たるように、手を上から下に振り下ろして、ティッシュに手が触れていないのに、風によってティッシュが下に曲がるので、空気の抵抗や風の力が分かるでしょう。

ボールが跳ね上がって上にあがる時、空気の抵抗があって、ボールを下に押さえるような力が働くのです。

手を、跳ね上がってくるボールに当てて、段段手を下げて行くと、最後はボールが止まるところまで下がるでしょう。手のように強くはないが、空気が上がってくるボールを押さえ、最後は地面に押しつけてしまうという説明でよいでしょう。

宙に浮いていると言っても、地面とぶつかりながら浮いているので、押さえる力があって、最後には、地面にくっつくように押さえてしまうのだ、と、手でボールを押さえて止めてみせて、空気がもっと弱い力だが、手と同じように、押さえてしまうのだという説明でよいのでは。納得するかしないかの話ですが。
　

この回答へのお礼

ご回答、ありがとう御座います。
無限級数は０に収束する？←これがポイントなんでしょうね。
有限の距離を無限に分割してしまっている訳ですから・・・
まず私が理解しないといけませんね（＾＾；

お礼日時：2002/08/29 12:28

No.14 回答者： DASS 回答日時： 2002/08/27 23:44

　一見、「アキレスと亀」のパラドックスに見えますが、ちょっと違うような気がします。

　「地面とボールの距離が、跳ね返るたびに小さくなる」ということは理解しているようなので、ちょっと見方を変えます。

　跳ね返るための「ちから」に注目しましょう。
（「ちから」は、「エネルギー」でも「パワー」でも「ヒットポイント」でも、当人にとって一番わかりやすく、イメージが湧きそうなものにしてあげてください）

　最初は５個分の「ちから」（地面とボールの距離、ですね。位置エネルギーです）があり、１個分の「ちから」を使って１個分の高さまで跳ね返りました（当然、無くなった４個分の「ちから」は、音や摩擦熱やボールの変形などで、それなりに無くなっています）。

　次は、１／２個分の「ちから」を使って１／２個分の高さまで跳ね上がりました。
３回目は、１／１０個分の「ちから」を使って１／１０個分の高さまで跳ね上がりました。
４回目は、１／１０００個分の「ちから」を使って１／１０００個分の高さまで跳ね上がりました。
　　・
　　・
　　・
確かにどこまでも跳ね返れそうです（笑）。

　しかしこれは、『どんなに小さな「ちから」でも、跳ね返ることができる』という仮説の元に成り立っています。

　残念ながら、地面（地球）とボールは引力で引き合っているので、跳ね返る・・・つまり、地面からボールが離れるのに必要な「ちからの最低限」があります。
跳ね返る時に得る「ちから」が「引力」以上の力でないと、もはや跳ね返ることはできません。
地面とボールは、（巨視的な目で見た限り）くっついたままです（微視的な、原子同士がくっついていると言うことでは決してありません）。
ボールが地面に落ちきってしまった、ということですね。

　『アキレスと亀』のパラドックスは、「どんなに小さな距離も存在する」あるいは「どんなに小さな時間も存在する」そして「『いつまで（時間が）経っても追いつかない』が、実は『何回（時間や距離を）分割しても追いつかない』のすり替えである事」で成り立っています。

　この『ボールの跳ね返り』の場合は、「どんなに小さなエネルギーでも、跳ね返ることができる」という彼の仮説が間違いだと言うことです。

　「跳ね返るとはどういう事か？」「跳ね返らないとはどういう事か？」という問いかけをして、当人の矛盾に気づかせてあげてください。

なお、相手が小学生ということなので、わかりやすさ最優先で書いています。まっとうな物理学からすると、エネルギーと力とが、ごっちゃになっています。
一応、そこのところを明記しておきます。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
今、色々勉強中です
本人も考えているようです（＾＾；
皆様とは、また違うような意見参考になりました。！

お礼日時：2002/08/29 12:18

No.13 回答者： O_Denwa 回答日時： 2002/08/27 22:54

>今度は、秒数を細分化してます・・・１秒の１／１０とかそうするとやはり地面に着いていと・・・

ボールを落して、地面につくまでの秒数を、細分化してきゃ、
それは地面に付かないのは当然です。
例えば、１０秒で地面につくとして、５秒、２．５秒、１．２５秒、０．６２５秒．．．．．
って具合に経過するというわけですよね？
でも、これはどんなに頑張っても９．９９９９９９．．．．．秒までなわけで、
無限であるから地面につかない。と、いえないわけです。
１０秒たてば、地面につくんですから。

最初の疑問（無限であるから地面に～）というのは、
時間軸を無視したときに成り立つわけですから。
時間という概念が出た時点で無限には、なり得ないんじゃないでしょかね。

この回答へのお礼

度々のご回答、ありがとうございます。
今、色々勉強中です
本人も考えているようです（＾＾；

お礼日時：2002/08/29 12:16

No.12 回答者： nikorin 回答日時： 2002/08/27 18:45

確かに地面までの距離は、

「ボール５個分から１個分それから1/2、1/10、1/1000・・・って」
いくらでも短くなっていきます。
でも短くなっていくぶん、その距離をボールが通過する時間もとても
短くなっていきます。
ボールは地面に達するまで常に落下しているので、十分長い時間たてば
必ず地面に達します。

「無限にあるから地面に落ちないんじゃないかと・・・」
いくら無限に分けたところで有限距離には違いありませんから、十分な
時間がたてば…以下同文。（笑）

…うーん、納得してもらえます？
いや、むしろ納得せずにそのお子さんが自分でじっくり考えてくれたほうがいいかもです。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
今、色々勉強中です
本人も考えているようです（＾＾；

お礼日時：2002/08/29 12:13

No.11 回答者： Kan-Nagi 回答日時： 2002/08/27 17:42

＃２のKan-Nagiです。

　例えば10ｍの位置から、秒速１ｍでボールが落ちると説明します(加速度は考えない。この問題の本意ではありませんので)。
　速度は変わらないという前提を崩さないようにして下さい。

　10秒後にボールが地面に落ちることを子供が理解出来れば、問題は「ひとまず」解決します。

以降蛇足
　＃９でlarryさんが「昔読んだ少年科学誌みたいなの」は、もしかして福音館の「たくさんのふしぎ」かな……？
　私はそれで「アキレスとカメレス」を知りました。子供の頃はやっぱり疑問に思って、実際にマッチ箱を並べて検証したことがあります(^^)

この回答へのお礼

度々のご回答ありがとうございます。
今の私には説明しきれないようです
今度は、秒数を細分化してます・・・１秒の１／１０とかそうするとやはり地面に着いていと・・・
困りました（＾＾；

お礼日時：2002/08/27 17:54

No.10 回答者： ranx 回答日時： 2002/08/27 17:25

> 実は、浮いているんじゃ無いかと言っています（＾＾；

物理学の問題だったら、一応その通りですね。地面を構成する分子とボールの分子との間には
電気の斥力が働いているはずですから。ただ、距離を無限に細分できるからという理由づけは
変ですし、数学の問題としても変です。
う～ん、これは、３０年くらいかけて、彼（女）自身に答を出してもらいましょう。
ちなみに、アインシュタインが相対性理論を発見できたのも、子どもの頃に、光に乗って光を
見たらどう見えるかという疑問が頭から離れなかったのが動機だったという話もあります。

この回答へのお礼

そうですね～　期待しときます（＾＾；
また、何か質問きそうですよ。答えられる質問だとありがたいのですが・・・
ありがとう御座いました。

お礼日時：2002/08/27 17:45

No.9 回答者： larry 回答日時： 2002/08/27 16:55

再出４番です。

私も彼（女）が天才少年であることを望みたいのですが
実際のところは算数の先生が授業のかたわらに
有名なパラドックスの話を織り交ぜて生徒達に
興味を喚起させた、というところでしょう。
四色問題など、とっつきやすそうな難問を
持ち出すのは理数系の先生にはよくあることです。

ということで（厳密な解釈はともかく）
ビデオ再生の話はとりあえずわかりやすいハズなので
「回答例」として持っていって話してもらって
その先生の「正解」を聞きたいものです。


雑談ですが
「アキレスと亀」の話は、少年科学誌みたいなのに
載っていたのを厨房だった私が数学の先生に
聞いてみたことがあるのですが
「さあ、どうしてだろねえ」
の一言で終わりでした（爆）。

No.8 回答者： ymmasayan 回答日時： 2002/08/27 16:43

こんなのはだめでしょうか？

（１）ようかんを半分に切り、片方を食べます。残りを半分に切り、又、片方を食べます。これを繰り返すといつまでもようかんはなくなりません。
（２）元の同じようかんを４つに切ります。４口で食べてしまう事が出来ますね。

後のほうが普通の事なので・・・。やっぱり、だめかな。

この回答への補足

実は、浮いているんじゃ無いかと言っています（＾＾；
地面に着いている様に見えるだけらしいと・・・
「落ちた時、音がしてるじゃない」と言うとそういうもんらしいとの事でした。
顕微鏡でも見えない位の隙間があるとの事です・・・
何だか私もそう思っちゃいました（＾＾；

補足日時：2002/08/27 17:00

No.7 回答者： hismix 回答日時： 2002/08/27 16:16

それは有名なゼノンのパラドックスのお話ですね

アキレスと亀といった方が馴染みでしょうか
この問題は何世紀も数学者が頭を抱えた問題ですから難しくって当然だと思います。
僕も説明してみろと言われるとどこに矛盾があるのかは指摘できません。
誰か指摘できる方はぜひ回答してもらいたいものです

「距離＝速さ×時間」の公式は矛盾の指摘にはなっていないと思いますが
確かに現実の空間ではこの公式によりボールは地面にあたります
しかし上の考え方はこれとは全く違う方法で違う結論を出しています

何が言いたいかというと、この矛盾を指摘するというのは難しいということです笑

それとビデオカメラの話ですがビデオカメラはちょっと不適切です
というのはビデオカメラを再生すると時空間というものが離散になってしまうからです。
つまり、時間の連続性がくずれ１コマ１コマの画像の束になってしまうからです。

この回答への補足

実は、浮いているんじゃ無いかと言っています（＾＾；
地面に着いている様に見えるだけらしいと・・・
「落ちた時、音がしてるじゃない」と言うとそういうもんらしいとの事でした。
顕微鏡でも見えない位の隙間があるとの事です・・・
何だか私もそう思っちゃいました（＾＾；

補足日時：2002/08/27 17:00

この回答へのお礼

ご回答、ありがとう御座います。
そうですか・・・やっぱり難しいんですね（＾＾；
困りました（＞＜）

お礼日時：2002/08/27 16:50

No.6 回答者： O_Denwa 回答日時： 2002/08/27 15:47

#2や#4の方がおっしゃるように、

時間を無視してるからって事なんでしょうけど。。。

安易に説明するより、
実際にボールを地面に向かって落としてみて、
そのときの結果と、子供が言うことが一致しないことを示し、
それについて一緒に悩んであげて、
その子がどんな結果を出すのか。
とかに興味がわいちゃいます。

いやぁ、しかしすごい小学生ですよね。
ボクが分数を覚えた頃の、この時期だと
いかに効率よく「夏休みの友」を書き写すかって事くらいしか考えて無かったかも（＾＾；

この回答への補足

実は、浮いているんじゃ無いかと言っています（＾＾；
地面に着いている様に見えるだけらしいと・・・
「落ちた時、音がしてるじゃない」と言うとそういうもんらしいとの事でした。
顕微鏡でも見えない位の隙間があるとの事です・・・
何だか私もそう思っちゃいました（＾＾；

補足日時：2002/08/27 16:59

この回答へのお礼

ご回答、ありがとう御座います。
試しに実演？して見ます。
どう答えるか出来れば報告します！

お礼日時：2002/08/27 16:47