算数オリンピックでの問題です。

Question

５個の整数があり、そのうち２個は同じ数です。５個のうち、１個を除いた４個の整数の和は３３，３４，３５，３７の４通りでした、５個の整数をもとめなさい。算数オリンピックで娘からの問題でした。わかりませんので、どなたかお願い致します。

age_momo · Accepted Answer

答えが二通り考えられるので迷いましたがとりあえず書いておきます。

この問題は同じ値がいくつかと言うことにポイントがありそうに思います。
その同じ数字はどちらを抜いても同じ和になるので書いていませんが、
３３，３４，３５，３７のいずれかです。
このいずれかを足すと、5つの整数の和の4倍になります。
(全ての数字の和を5回足して1回引いたと同じだからです)

とするとそれは4の倍数になるはずです。今、

３３，３４，３５，３７

を足すと１３９、４の倍数より１小さいですから、後一つは４の倍数+1の
はずです。４つの和のうち、３３と３７が考えられます。

(1)３３のとき

３３，３３，３４，３５，３７の和は１７２、４で割ると４３（これが5つの整数の和)
とすると5つの整数は

６，８，９，１０，１０

(2)３７のとき

３３，３４，３５，３７，３７の和は１７６、４で割ると４４
とすると5つの整数は

７，７，９，１０，１１

になります。一応、どちらも問題のいっていることとは符合します。

stomachman · Answer

ANo.5　stomachman、毎度の事ながら計算間違いしましたっ。

> もしa=X+4なら　2(X+4)+(X+3)+(X+2)=37、つまり、4X=14

いや正しくは、

もしa=X+4なら　2(X+4)+(X+3)+(X+2)=37、つまり、4X=24

です。だからこの場合にもXは整数になって、X=6。従って５個の整数は(X, X+2, X+3, X+4, a)=(6, 8, 9, 10, 10)。

結局、答は二通りあるんですね。

noname#43759 · Answer

ANo.7で回答した者です。自分の回答に致命的なミスがあったので、参考にしないでください。

kumipapa · Answer

皆さんと同じような考え方しか浮かばないのですが・・・
５個の数字は、うち４個が異なる数字ですから、
Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄと、Ｘというもう一つの数字で５個と考える事ができます。ＸはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのどれかと等しい。

４つの数の和が最大になるのは、Ｘ，Ｂ，Ｃ，Ｄの和で、最小になるのはＡ，Ｘ，Ｂ，Ｃの和だから、
Ｘ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３７　・・・（１）
Ａ＋Ｘ＋Ｂ＋Ｃ＝３３　・・・（２）
（１）から（２）を引いて、Ｄ－Ａ＝４よりＤ＝Ａ＋４

４つの数の和が３５になるのは、Ｘ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３７のＢをＡに入れ替えたときなので（なぜならＸ＝Ａならば、ＸをＡと入れ替えても３７のまま。故に、Ｘが何であれ和が３７の次に大きくなるのはＢをＡと入れ替えたとき）、
Ａ＋Ｘ＋Ｃ＋Ｄ＝３５　・・・（３）
（１）から（３）を引くと、Ｂ－Ａ＝２よりＢ＝Ａ＋２
ここで、Ｂ＝Ａ＋２，Ｄ＝Ａ＋４でＢ＜Ｃ＜Ｄだから、Ａ＋２＜Ｃ＜Ａ＋４であり、故にＣ＝Ａ＋３

Ｂ＝Ａ＋２、Ｃ＝Ａ＋３、Ｄ＝Ａ＋４より、Ｘ＝Ａ＋α とおくと、αは０，２，３，４のいずれか。（２）へこれらを代入すると、
４Ａ＋５＋α＝３３
４Ａ＝２８－α
右辺は４の倍数でなければならないので、αは０か４
α＝０のとき、Ａ＝７，Ｂ＝９，Ｃ＝１０，Ｄ＝１１、Ｘ＝Ａ＋０＝７
α＝４のとき、Ａ＝６，Ｂ＝８，Ｃ＝９，Ｄ＝１０，Ｘ＝Ａ＋４＝１０

よって、答えは
（７，７，９，１０，１１）
（６，８，９，１０，１０）
の２組ある。

このどちらの整数の組も題意を満たす。
７＋７＋９＋１０＝３３
７＋７＋９＋１１＝３４
７＋７＋１０＋１１＝３５
７＋９＋１０＋１１＝３７

６＋８＋９＋１０＝３３
６＋８＋１０＋１０＝３４
６＋９＋１０＋１０＝３５
８＋９＋１０＋１０＝３７

noname#43759 · Answer

最も小さい数を０とします。
大きい整数を除くほど、和は小さくなります。
このことにより、求める数をXとすると５個の数は
０，２，３，４，X
これで和を作ると９＋X,７＋X,６＋X,５＋X，９

和は４種類にしないといけないからX＝０
よって、最も小さい数を０としたとき
０，０，２，３，４　（＊）
となります。
和をつくると５，６，７，９
それぞれの和は問題中の和より２８（＝３３－５＝３４－６＝３５－７＝３７－９）小さい。
２８÷４（一つの和をつくる数の個数）＝７を（＊）にそれぞれ加えると、
７，７，９，１０，１１
これが求める数

snow16 · Answer

いろいろな解き方があって面白いですね。
stomachmanさんの解き方に似ていますが、こんな解き方もみつけました。

5つの整数のうち2個は同じ数ですから、異なる４つの整数をA<B<C<Dと表すことにします。さらに、５つの整数の和をSと書くことにすると、
　S-A=37　(1)
　S-B=35　(2)
　S-C=34　(3)
　S-D=33　(4)
です。これから、
　B=A+2
　C=A+3
　D=A+4
も求められます。
ここで、たまたま重複された整数を取り除いて和をとった場合を考えると、
　A+B+C+D=4A+9
ですが、これは(1)～(4)のいずれかの値と等しいはずです。Aは整数ですから、右辺の数から９を引くと、4の倍数にならなければなりません。その条件を満たすのは、２通りあって、
　S-A=A+B+C+Dのとき、重複する整数はAで、4A=28より、５つの整数は（７、７、９、１０、１１）
　S-D=A+B+C+Dのとき、重複する整数はDで、4A=24より、５つの整数は（６、８、９、１０、１０）
と求められます。

stomachman · Answer

既に解けているんで、同じこってすが、式を減らしてみましょう。

　５個のうち一番小さい整数をXとします。
　５個のうちからXをひとつ除いた４個の合計は、（一番小さいのを除いたのだから、与えられた和の中で一番大きい）37です。
　だから５個の整数全部の合計は（37に、除いていたXを加えて）X+37である。従って、５個の整数は{X, X+2, X+3, X+4}の4通りだと分かります。（たとえばX+2を除いた和は(X+37)-(X+2)=35ですね。）
　さらに、重複している数をaとしましょう。すると、５個の整数は(X, X+2, X+3, X+4, a)であり、aは{X, X+2, X+3, X+4}のどれかです。
　さて、「５個のうちからXをひとつ除いた４個の合計が37」ということは、
もしa=X+4なら　2(X+4)+(X+3)+(X+2)=37、つまり、4X=14
もしa=X+3なら　(X+4)+2(X+3)+(X+2)=37、つまり、4X=25
もしa=X+2なら　(X+4)+(X+3)+2(X+2)=37、つまり、4X=26
もしa=Xなら　(X+4)+(X+3)+(X+2)+X=37、つまり、4X=28
 Xが整数になるのはa=Xの時だけで、4X=28よりX=7。従って５個の整数は(X, X+2, X+3, X+4, a)=(7, 9, 10, 11, 7)。

fuuraibou0 · Answer

ＡＮｏ.３の式の立て方は、式(１)が

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３３　または　３７　の場合のみ、{(１)＋(２)＋(３)＋(４)}－３*(１)　が　４Ｄ＝１３９－３＊３３＝４０　または　２８　で　４の倍数になるときで、Ｄが整数になりますが、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３４、３５　のときには、、{(１)＋(２)＋(３)＋(４)}－３*(１)　より得られる　４Ｄ　が４の倍数になりません。

fuuraibou0 · Answer

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３７　・・・（１）
Ａ＋Ｂ＋ ２Ｄ ＝３５　・・・（２）
Ａ＋Ｃ＋ ２Ｄ ＝３４　・・・（３）
Ｂ＋Ｃ＋ ２Ｄ ＝３３　・・・（４）

{(１)＋(２)＋(３)＋(４)}－３*(１) より、
　　３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋７Ｄ＝１３９
－）３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋３Ｄ＝１１１
－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　４Ｄ＝ ２８　　　∴　Ｄ＝７　

（２）より、Ａ＋Ｂ＝３５－２Ｄ＝２１　・・・（５）

（３）－（４）より、Ａ－Ｂ＝３３－２Ｄ＝１　・・・（６）

（５）＋（６）より、２Ａ＝２２　　∴　Ａ＝１１


（５）または（６）より、Ｂ＝１０

（３）より、Ｃ＝３４－ａ－２Ｄ＝９

答えは、７、７、９、１０、１１　です。

---------- · Answer

まず、５つの数字というのを文字で書いてみます。(a～e)
そして、１個を除いた４個の整数の和というのを
したのように書いてみます。
a+b+c+d+0
a+b+c+0+e
a+b+0+d+e
a+0+c+d+e
0+b+c+d+e
取り除いたところは、「0」と書きました。
このとき、この５つを足すと、
4(a+b+c+d+e)となることがわかります。
５個の和を足したときに、
それぞれの数は一回取り除かれているので、
５個足すと、元の５つの数字の和の４倍になるのはわかると思います。

さて、今、５個のうち２つが同じ数なので、
１個を除いた４個の和というのが、４種類しかありません。
だぶっているのを見つけないといけないのですが、
33+34+35+37=139なので、
上で考えたことと合わせると、
139にだぶっている和を加えれば、４の倍数になるはずです。
そうなるには、「33」か「37」でないといけないことがわかります。

もし、33なら、139+33=172が５つの和の４倍、
つまり、５つの和は43となって、
43-33=10（ダブっている数）
43-34=9
43-35=8
43-37=6
となります。

37なら、同様に５つの和は44となり、
５つの数は、11、10、9、7、7となります。

算数オリンピックでの問題です。

答えが二通り考えられるので迷いましたがとりあえず書いておきます。

ANo.5 stomachman、毎度の事ながら計算間違いしましたっ。

ANo.7で回答した者です。

皆さんと同じような考え方しか浮かばないのですが・・・

最も小さい数を０とします。

いろいろな解き方があって面白いですね。

既に解けているんで、同じこってすが、式を減らしてみましょう。

ＡＮｏ.３の式の立て方は、式(１)が

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３７ ・・・（１）

まず、５つの数字というのを文字で書いてみます。

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