連続の問題です。
[問]E⊂R:実数体,f:E→Rとする時、
R⊃∀F:閉集合に対しf^-1(F)はEの閉集合⇒fがEで連続
を解いています。
∀U⊂Rを開集合とするとU^cは閉集合となる。
x∈f^-1(U^c)
⇔f(x)∈U^c
⇔¬(f(x)∈U)
⇔¬(x∈f^-1(U))
⇔x∈(f^-1(U))^c
よって(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)は閉集合である。f^-1(U)は閉集合だからfは連続。
という証明を見つけました。
ところで
(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)となる事は分かったのですが
U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
になるのは何故なのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合
問題文の前提なのですが・・・
仮定:任意の閉集合 F に対して,f^-1(F) は閉集合
結論:f は連続
証明:U を任意の開集合とする.
f^{-1}(U) が開集合であることを示せば f は連続となるので,
それを示す.
U^c は閉集合なので,f^{-1}(U^c) は閉集合(仮定より)
一方,(f^-1(U))^c=f^-1(U^c) なので(注意:これは開集合とか閉集合に関係なく,任意の部分集合について成り立つ,逆像の性質),
(f^-1(U))^c は閉集合.
つまり f^-1(U) は開集合.
No.2
- 回答日時:
まず、fは閉集合を閉集合に引き戻すという問題の前提があり、したが
って、f^-1(U^c)は閉集合であるという前提があります。
そして、(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)であることがわかったから、
(f^-1(U))^cは閉集合であり、したがって、その補集合f^-1(U)は開集合
です。(f^-1(U)は閉集合という記載がありますが、閉集合ではなく、
開集合です。)
よって、fは開集合を開集合に引き戻すことがわかったから、fは連続で
あるといえます。(一般に、位相空間の間の写像が連続であるとは、
開集合を開集合に引き戻すことであると定義されます。)
この問題によって、閉集合を閉集合に引き戻す写像も、連続であるとい
えます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 開集合・閉集合について 4 2022/11/04 13:53
- 数学 集合と論理について 2 2023/01/08 05:52
- Access(アクセス) お世話になっています いまクエリを作っています。。 デザインビューの画面の集計の欄で、「グループ化」 4 2022/09/17 17:03
- 数学 局所コンパクト空間になることの必要十分条件についての質問 3 2022/03/24 16:17
- 郵便・宅配 郵便局での書留や小包の受け取りについて 10 2022/05/06 08:17
- 数学 逆像法について 高校生です -1≦x≦2のとき、y=2x-3の値域を求めよ。 この問題を、xについて 4 2022/05/01 23:11
- その他(プログラミング・Web制作) VSCodeの自動保存の2か所を無効にしているのに自動で保存されてしまう 1 2022/10/19 11:31
- 数学 【 数A 集合を用いた命題の真偽 】 問題 xは実数とする。集合を用いて, 次の命題の真偽を調べよ。 1 2022/07/18 19:51
- 数学 内田伏一著「集合と位相」裳華房 p28 定理7.1 (カントール )べき集合から集合への単射の不存在 3 2022/11/04 11:54
- 数学 関数f(x)が閉区間[a、b]で連続で開区間(a、b)で微分可能なら f(b)-f(a)/b-a = 1 2023/07/19 17:26
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
NからN×Nの全単写
-
全射・部分写像の個数の問題
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
四次対称群S4が可解群であるこ...
-
初めての複素関数の勉強
-
円→楕円への写像
-
行列の階数
-
体の『同型』と『○上同型』のち...
-
複素数の関数
-
環RについてR加群の短完全列 0→...
-
集合論に強い方、R^2=平面、R^1...
-
商空間とハウスドルフ空間
-
Eを体、PをEに含まれる素体とす...
-
逆写像と逆像の違いがわかりま...
-
数学記号について
-
群論、生成元と関係式
-
Gal_Q(x^4+1)がZ_2×Z_2の同型
-
Lebesgue測度μではμ(S\T)=μ(S)...
-
代数学「素体」
-
写像の記号の、右下の小文字の...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報