微分について

微分方程式　dy/dx＝P(x)/Q(y)を解くときに、記号dy/dxをあたかも分数であるかのように見て切り離し、Q(y)dy=P(x)dxという形の方程式を作り、それから両辺を積分して計算するのについて、「記号dy/dxは分数ではないから、この操作はおかしい」と問われた場合の弁明をするには、どうしたらいいでしょうか？誰か教えて下さいm(_ _)m

No.5 ベストアンサー 回答者： tak2006 回答日時： 2002/09/07 01:40

先ず、P(x)をxで積分します。

∫P(x)ｄｘ

ここで置換積分をします。尚、置換積分に於ける微分表記の分数表現は次のNo.2を参考にして下さい。http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=330202

dy/dx＝P(x)/Q(y)　より　ｄｘ＝{Q(y)/P(x)}ｄｙ

∴　∫P(x)ｄｘ＝∫P(x){Q(y)/P(x)}ｄｙ＝∫Q(y)ｄｙ
∴　∫P(x)ｄｘ＝∫Q(y)ｄｙ

となり、微分の表記をあたかも分数のように分離させている形になります。

No.6 回答者： DreaMMaster 回答日時： 2002/09/07 12:06

　＃５さんのように、正当性を証明すればいいだけの話では？

　とだけ言うと何ですから、

ニュートンやライプニッツの時代にいくつか提案された微分の記号の中で
dy/dxが生き残っているのは、形式的にこのような計算ができることが厳密に証明できるから、使い勝手がいいのだ。言い換えると、このような形式的な扱いで物事をすませることができるようにこの記号が使われているのだ。

という弁明はいかがでしょう。

No.4 回答者： Nandayer 回答日時： 2002/09/06 22:44

　数学は厳密な学問として知られていますが、新しい概念の形成に関しては、論理的厳密性が優先するとは限りません。

　　　・関数
　　　・極限
　　　・定積分可能であること
などは、歴史的に、概念の形成からずっと遅れて厳密な定義がされるようになりました。
　御質問のような計算操作も、同様に、厳密な裏付けを欠いたまま使われるようになったものです。しかし今日では、P(x)dx などは「微分形式」として厳密に定義されています。

「使って便利で正しい結果が出てくる概念，記号，式などは当初曖昧な点があっても，後できちんと正当化されるということは数学の歴史が示している．」
小林 昭七 著「曲線と曲面の微分幾何（改訂版）」裳華房（ISBN4-7853-1091-X) P49

　弁明のお役に立てますでしょうか。

No.3 回答者： brogie 回答日時： 2002/09/06 22:36

　微分の概念については、田島一郎先生の解析入門？とかいう50年以上昔絶版になった本に実に噛み砕いた分かり易い解説がありました。

田島先生はその後もこの分野の書籍を書かれていますが、あのような噛み砕いた数学（解析学）の本は見たこともありませんでした。
　スミルノフの高等数学教程の第1巻にも微分の概念が比較的詳しく書かれていたと思います。

　簡単に、微分の概念を説明しますと、
関数　y＝f(x)
xの増分dxとして、
f'(x)dxをdyとおくと
dy＝f'(x)dx
このdyをyの微分といい、
dxをxの微分と言う。
また、f'(x)を微分係数という。
f'(x)dxはf'(x)とdxの積です。
このように定義すると
f'(x)＝dy÷dx
となります。

このような微分の概念が定義されて、初めて
dy/dx＝dy÷dx
として取り扱うことができます。

最初の導入はあくまで極限です。
limΔy/Δx＝dy/dx
ですから割り算ではありません。

No.2 回答者： larry 回答日時： 2002/09/06 20:30

いや、極限をとってるだけで割り算（＝分数）には

変わりないですよ。

速度や加速度に微分（正しくは導関数）を使うことを
考えれば、なんにもおかしくはないのでは？

No.1 回答者： noname#3954 回答日時： 2002/09/06 19:47

工学部にいる私の友人に以前同じようなことを聞いたのですが、厳密に言えば分数でないけれど、分数のように解いても支障がないから分数のように解いた方が早い。

のだそうです・・。回答になってなかったかも・・・(^_^;)