4次元空間の3つのベクトルが互いに直交する条件

以前、
4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3519203.html
において、いろいろ教えていただけました。

同様にすれば、4次元空間の3つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元である条件、が成分を用いて書けることになります。

ところで、いくつかのベクトルが張る空間が1次元というのは、すべてのベクトルが平行ということです。
今回、それとは逆に「すべてのベクトルが互いに直交する」という条件を考えてみたいと思います。

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。

a↑、b↑、c↑、d↑の４つのベクトルが互いに直交する条件は、
４つのベクトルでできる立体＝超立方体
なので、行列式の絶対値は、各辺の積と等しく、
｜a↑ b↑ c↑ d↑｜＾２＝｜a↑｜＾２＊ ｜b↑｜＾２＊ ｜c↑｜＾２＊｜ d↑｜＾２
とかけます。成分でも書けます。

a↑、b↑の２つのベクトルが互いに直交する条件は、
内積を用いて、
a↑・b↑＝０
とかけます。成分でも書けます。

最後に、a↑、b↑、c↑の３つのベクトルが互いに直交する条件を、できるだけ簡素に書きたいとき、どういった書き方になるのでしょうか?

すべての組の内積が０というのより、なんらかの行列式を用いて書きたいのですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/11/24 11:15

普通に、「すべての組の内積が０」

a・b = b・c = c・a = 0
だと思います。これより簡単な表示はないと思います。
どうしても、行列の形で書きたければ、
a,b,cを列ベクトルとして、
(a, b, c)^T * (a, b, c) = diag(a・a, b・b, c・c)
ですかね。diagは対角行列を表してます。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/11/24 11:29

あるいは、代数的に＝を１個にすることにこだわりたいなら、

(a・b)^2 + (b・c)^2 + (c・a)^2 = 0
でＯＫですけど。

No.1 回答者： bibendumbibendum 回答日時： 2007/11/23 05:51

行列式の定義が各ベクトルの大きさの積という定義がおかしくないですしょうか。

行列Aをa↑、b↑、c↑、d↑の成分からなる行列をすると
det（A)がゼロでないことがベクトルが直行する条件でないでしょうか。

この回答へのお礼

僕の書いたことは正しいと思います。

a↑、b↑、c↑、d↑の４つのベクトルが互いに直交する
⇔
行列式の絶対値は、各辺の積と等しい

＞行列Aをa↑、b↑、c↑、d↑の成分からなる行列をすると
det（A)がゼロでないことがベクトルが直行する条件でないでしょうか。

それは明らかに間違いです。

お礼日時：2007/11/23 14:28