遠心力と引力がつりあったら・・・

最近、夏バテで重力さえもきつく感じるので(笑)こんな空想を考えてみました。
以下、赤道上の話とします。また他の星の引力は無視してください。
現在の地球の自転速度では、地球の自転による遠心力は地球の引力に比べておよそ３００分の１と普通無視できるレベルですが、自転の角速度が今の約１７倍（１時間ちょっとで日が沈んだり上ったり…）になると遠心力が引力につりあいます。
ここで質問ですが、このつりあいの状態の赤道上ではいわゆる無重力が体感できるのでしょうか。また、仮にそれが無重力状態だとすると地面をけってジャンプしたらその人はその後どうなるのでしょうか。再び引力が効力を出して地面に落ちるのか、あるいははるかかなたへとんでいってしまうのか。どうも独力ではジャンプした後の力の働き方とかがよくわからないのでご回答よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 11:14

楕円軌道を描くときには元に位置に戻ってきて

そのとき人は地表面とｔａｎ＾（－１）（ｖｈ／（２・π・ｆ・Ｒ））の角度になっています
ということは人が楕円軌道をとるときには人の楕円軌道は地球内部をとおるすなわち地球とぶつかる軌道をとおるすなわち地球とぶつかる

少し煩雑になるので省きましたが軌道を出すには
（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
の両辺に右から（ｒ（ｔ）×ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）を外積して積分すればいいのです

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ
地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ（ｔ）｜－１／｜ｒ０｜）
｜ｒ（ｔ）｜＝∞を満たすｖ（ｔ）が存在する場合に人は帰ってこない
√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいき帰ってこない
｜ｖ０｜＝√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
放物線を描いて飛んでいき帰ってこない
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて飛んでいき楕円を描いて帰ってきたとき地表面にぶつかる

この回答へのお礼

nubouさん、丁寧な回答ありがとうございます。

最初の回答の楕円軌道のときは衛星になるというのが、とてももっともらしく思えましたが、よく考えれば（現在の地球において）地表面に垂直に発射したロケットは発射後に発射エンジン以外にエンジンを使わなければ地球にまた落ちるか無限遠に飛んでいくかのどっちかですね。

ところで、式を見ていきますと、地球の自転周波数は人の運動の軌道に影響がないようですが、にもかかわらず、地表面に戻ってくるときの角度が自転周波数に影響されるのはなぜでしょうか。それと、現在の地球だって自転周波数は０ではないですので、実は厳密には我々はジャンプして再び地上に戻ってくるとき、多少（それはそれは微々たるものですが）地表面に対して傾いて降りているのでしょうか。
あ、もしかして、これがコリオリの力なのですか。
まだ、コリオリの力は、本で読んで、中心力に関する運動方程式をたてて「この第２項がコリオリの力を表す」程度のことしか知りません。

あと、nubouさんの話からするとジャンプしている人は体の傾きを除いては（傾きも微々たるものですのでここでは無視しましょう）ただ、地面に垂直にジャンプしているだけにしか感じないということになるんですね。つまり、地面にいるときは無重力でありながら、ジャンプすると今の地球上でジャンプしたのと同じになるわけですね。う～ん、考えれば考えるほど不思議な世界ですね。体験したいけど…無理ですねぇ。

お礼日時：2002/09/13 22:16

No.12 回答者： aster 回答日時： 2002/09/14 04:19

　

まず、話を複雑に見せているのは、地球の重力が飛んだ者にかかるとか、地球の赤道表面から飛びあがるというような具体的イメージでしょう。

地球の重力は、無論、飛んだ者にもかかりますし、人工衛星にもかかりますし、第二宇宙速度を超えて、太陽の人工惑星となった天体にも作用します。こういう力の作用を考えに入れた上で、天体の運動軌道というのは決まっているのです。

赤道上とか考えるので話が分かりにくいでの、力学的な運動としては、地球の球体はなく、地球の質量全体が地球の中心にあるとして、赤道に当たる位置で、丁度その高さでの人工衛星軌道を飛んでいる人を考えればよいのです。

赤道が、無重力（または重力釣り合い）の状態になる速度で回転しているということは、赤道上に「人は立っていない」のです。単に、地面と足底が触れているだけで、足の底で、地面を押しているのではないのです。

従って、地球の姿は考えないで、赤道の距離に当たる空間に人間が浮かんで、円軌道の衛星軌道を飛んでいると考えるのが妥当なのです。実際、そういう状態なのです。

この場合、面白いことが起こるとすぐに分かります。つまり、赤道上で、立った状態で、回転運動を人がしていた場合、実は、人は、赤道の地面の位置より、人の質量重心の高さの分だけ、「高い軌道」を回っているのです。

だから、ごくごくわずかの力でよいのですが、（ちょっとだけ地面を非常に軽くけり、姿勢を前に倒すというような動作で）、人の身体はゆっくりと宙に浮かんで回転し始めます。無論、この場合、空気抵抗は考えていません。空気抵抗を考えると、最初の力や姿勢を前に倒す力にもよりますが、途中で回転がやみ、宙に浮いた状態になります。地面から８０ｃｍか９０ｃｍぐらいのところのはずです。

空気抵抗がないと、何時までもぐるぐると宙で回転します。（足などが地面に触れそうになれば、足を縮めれば、そのまま回転します）。

そこで、質問の「垂直に飛ぶ」ということをしてみます。仮に垂直に飛べたとして、その獲得速度をＶとします。

赤道の距離で、衛星軌道にあるということは、第一宇宙速度で、水平に運動しているということです。第一宇宙速度は、約７．９ｋｍ／秒です。Ｖをｋｍ／秒にすると、

√（Ｖ^2＋(7.9)^2）＝√（Ｖ^2＋62.41）

この速度で、方向は、水平からの角度をφとすると、tanφ＝V/7.9 で決まるφの角度に運動を始めます。

地球の球体があるので、考えが混乱するので、球体はなしで考えて、地球中心に質量があると考えると、上のような運動は、地球の中心を一つの焦点とする楕円軌道を描きます。

飛びあがってから、約０．７時間、つまり約４２分後、人は、地球の公転楕円軌道の丁度、１８０度反対側に達し、赤道距離丁度のところに降りてきます。もし、赤道の地面が見えていた場合、赤道地面から上昇し、約２１分かけて、最高の高さまで上昇して、それから２１分かけて、地面に足底が触れる状態に降りて来るのです。

地面がない場合は、更に地面より深く降りて行き、約２１分後に、もっとも深く降り、それから２１分かけて、また地面と同じ高さになり、これで楕円軌道を一周で、再び、上昇を始めます。外力の作用等がなければこういう楕円運動の繰り返しです。

しかし、実際は地面があるので、４２分後に地面に衝突し、反動で宙に再び浮くか、泥のような衝突エネルギーをすべて吸収するような地面に衝突すると、そこで、停止します。

これが垂直に飛んだ場合の運動です。

水平に飛んだ、というか、何かの反動で水平方向、回転の進行方向に速度を加えた場合、速度をＶとすると、Ｖ＋７．９ｋｍの脱出速度に相当する円軌道に移動します。

回転の進行方向に向け、斜めに飛んだ場合は、速度を垂直成分と水平成分に分け、水平成分＋７．９ｋｍに相当する円軌道を基礎に、垂直成分に応じる楕円軌道を描きます。この場合、地面にもぐるような楕円軌道かどうかは、全体の追加速度と、垂直成分と水平成分の比率で決まります。

しかし、地球の回転の進行方向と反対の方向に、水平に飛べば、地面がない場合は、地面より低い円軌道の衛星軌道になるのですが、地面があれば、地面で止められてしまい、反動で上昇して、それが回転の進行方向向きの場合は、上で述べたような話になり、反動がない場合は、そこで、止まります。

回転の進行方向と反対の方向に、斜めに上に跳ぶと、赤道の距離より内側の円軌道を基準に、楕円軌道を描き、地面の上に出てくる時間もありますが、大部分は、地面より下の位置で楕円軌道を運動します。これも、地面で止められれば、別の運動になります。

回転の進行方向（つまり東向き）と、その反対方向（つまり西向き）に飛んだ場合は上に述べましたが、南北方向や、その中間の方向の場合はどうなるのか。

純粋に南か北で、水平方向の場合、円軌道で、より高い軌道で、かつ、２１分後に、南か北に最大に寄るような円軌道になります。つまり、円軌道が、飛んだ位置点と、その地球重心の対称点を結ぶ線を軸として赤道円を回転させたような円軌道を動きます。

東南、東北の水平運動では、赤道円に近い円軌道で、高い軌道になります。西南、西北の水平運動では、赤道円に近い円軌道で、低い軌道、つまり地面のなかの軌道になります。

これらの運動に、垂直に飛ぶ要素成分が加わった場合は、それぞれの方位での円軌道を基準とした楕円軌道になります。

人間は、重力のある地表面で、立ったままで、地面から５０ｃｍぐらいは飛びあがることができます。この時、エネルギーは、質量をｍとして、ｍ＊９．８＊０．５＝４．９ｍです。これを、速度に変えると、(1/2)ｍＶ^2＝４．９ｍですから、Ｖ^2＝９．８で、Ｖ＝３．１。

つまり、垂直に３．１ｍ／秒の速度で、上に昇って行くことになります。どのぐらい昇るかというのは、近似計算で出してみます。

約２１分後に最高の高さになり、それから落下し始めるというのが、先の軌道予想ですから、これに従うと、もっとも高く上昇するのは、２１分後、約１２６０秒後です。従ってｈ＝３．１＊１２６０＝３９０６。

大体、３９００メートルほどの高さに上がり、それから、２１分かけて、赤道地面相当の位置に降りてきます。その後、地面より下に降りて行き、３９００メートルよりは少ない距離を降下した後、再び、上昇します（下降軌道は、楕円軌道の焦点に近い方の軌道なので、円軌道からのずれが、より小さくなるのです）。

なお、５０ｃｍ飛びあがるというと、少し強い感じですから、軽く１０ｃｍ跳び上がる場合だと、Ｖ＝１．４ｍ／秒で、２１分後には、１７６４メートルほどです。地面があるとすると、富士山の半分ぐらいの高さまで昇ります。

（追記）：質問は、人間が足で蹴ってみると、ですから、第二宇宙速度に達するようなエネルギーなど出ないのです。スーパーマンかウルトラマンなら、第二宇宙速度を超えることができるかも知れませんが、しかし、その場合も、太陽系を脱出する速度ならともかく、それ未満だと、太陽の惑星軌道を進み、元の位置には戻って来ませんが、地球とのあいだで、最接近状態が周期的に起こります。

「参考」

＞第一宇宙速度は、秒速約７．９ｋｍです。
＞
＞第二宇宙速度は、地球の重力の影響から「完全に脱出する速度」で、第一宇宙速度の√(2) になります。従って、秒速約１１．２ｋｍです。

＞No.338411 質問：第一宇宙速度って？？
＞http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=338411
　

この回答へのお礼

具体的な数字で、とてもわかりやすい説明でした。
nubouさんの回答とasterさんの回答とをあわせて、おかげで運動の仕組みがわかってきました。下のnubouさんの回答にも書きましたが、つい大事なことを忘れていました。人が地面に対して静止しているということは、人もまた、地球の接線方向にｖ＝Ｒωの速さで運動しているんですよね。あぁ、ばかですね。まったく・・・。
それがわかっていれば、No.6のコメントで「ジャンプすると今の地球上でジャンプしたのと同じになるわけですね」だなんて言いませんでしたね。恥ずかしい。
やっと、慣性系でこの運動が見られるようになりました。
みなさん、ありがとうございました。
これで回答を締め切ろうと思います。

お礼日時：2002/09/14 21:16

No.11 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/14 03:11

｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）

｜ｒ０｜＝Ｒ
ですから
√（２・Ｇ・Ｍ／Ｒ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）＜ｖｈならば
双曲線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＝√（２・Ｇ・Ｍ／Ｒ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）ならば
放物線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＜√（２・Ｇ・Ｍ／Ｒ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
楕円を描いて飛んでいき楕円を描いて帰ってきたとき地表面にぶつかる

No.10 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/14 02:07

地球の自転周波数は人の運動の軌道に影響がないようですが、にもかかわらず、地表面に戻ってくるときの角度が自転周波数に影響されるのはなぜでしょうか。

：

もちろん自転周波数は影響しています
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
｜ｒ０｜＝Ｒ
ですから
√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）＜ｖｈならば
双曲線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＝√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）ならば
放物線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＜√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
楕円を描いて飛んでいき楕円を描いて帰ってきたとき地表面にぶつかる
つまり地球の自転は初速｜ｖ０｜の水平成分を生み出しますから関係します

地表面に対して傾いて降りているのでしょうか。：
垂直上空に飛んでも人の初速度は慣性系からみれば自転による速度と上方に飛ぶときの速度とのベクトル和になります
地表にいる観測者には上空に飛んだように見えますが地球を見ている慣性系の観測者には地球表面から斜めに飛んだように見えます

これがコリオリの力なのですか。：
コリオリの力は見かけの力です
今立てている方程式は慣性系から見た方程式を立てているのです
普通方程式を立てるのは慣性系から立てます
そうしないとさまざまな見かけの力にだまされるからです
もっとも加速度系から立てたほうが簡単になる場合もあり加速度系から式を立てる場合もあります

地面にいるときは無重力でありながら、ジャンプすると今の地球上でジャンプしたのと同じになるわけですね。：

違います今回のケースで飛ぶと人間の弱い力の場合地球がほぼ一周するまで落ちてきません
そしてほぼ同じ地面に落ちてきます
つまり地上の観測者には長い間浮いたように見えます
脱出速度に近い超人的な力でけると地球が慣性系から見ると地球の反対側に到達しますが落ちるまでの時間は非常に長くどの地表に落ちるかは飛ぶ速さに依存します
地上から見ると非常に高く上昇し見えなくなりどこに落ちるのかわかりません

「同じ角度でもどってくる」というのはＮｏ.６の回答に矛盾しませんか。それとも、ジャンプした時点で、地表面に対して傾いているのでしょうか。：

まったく矛盾しません
すでに回答してますが
地球をすり抜けることができると仮定した場合に
慣性系から見て人が帰ってきたとき同じ場所・同じ速度（速さ＋角度）になっているのです
慣性系から見た角度と地面から見た角度が異なることは分かると思いますが
力学では常に慣性系から物事を考えるのが普通です

この回答へのお礼

どうもすみませんでした。
かなり思い違いをしていました。まだ、慣性系と加速度系の区別がついてないようです。このような仮定における地球上に住んでいたらどうなるだろうかということを考えるあまり、どの系を使っているのか頭の中でごちゃごちゃになっていたようです。
しかし、かえっていろいろな疑問が消えてよかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/14 18:40

No.9 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 19:59

地球の衛星となる速度（第一宇宙速度）が約８ｋｍ／ｓ、地球の引力を振る切る速度（第二宇宙速度）が約１１ｋｍ／ｓなので、その差は約３ｋｍ／ｓ。

：

仮定からもうすでにほとんど静止衛星となっている状態です
すでに述べたように問題は（追加速度＋自転速度）が脱出速度を超えない場合には
追加速度が水平方向でない限り限り同じ場所に同じ角度で戻ってくるので地球内部が楕円軌道に含まれることです

ちなみに垂直方向でなく水平方向にわずかでも速度を持てば衛星になれます　

この回答へのお礼

「同じ角度でもどってくる」というのはＮｏ.６の回答に矛盾しませんか。それとも、ジャンプした時点で、地表面に対して傾いているのでしょうか。

＞ちなみに垂直方向でなく水平方向にわずかでも速度を持てば衛星になれます
なるほど。結局そういうことになりますね。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/13 22:27

No.8 回答者： Singollo 回答日時： 2002/09/13 19:28

> 地面から離れたあと、遠心力が消えて

> しまい引力に再び引っ張られるような
> 気がしますが

ああ、そーか
重力と遠心力が吊り合っていれば、地面に付いた足に地面からの抗力も無く、要するに地上0mで静止衛星軌道に乗ったようなものだから、静止衛星のアポジモータを地表方向に吹かしたらどうなるかと考えればよかったんですね

この回答へのお礼

アポジモーターというのがわからなかったので調べました。
http://host1.sde.co.jp/hyper-dictionary/50-aa/aa …
人工衛星って一気に静止軌道に乗れないんですね（あたりまえだろうけど、だいぶカン違いしてました）。調べる過程でいろいろ勉強になりました。
「静止衛星のアポジモータを地表方向に吹かしたらどうなるかと考えればよかったんですね」っていうのはつまり、地表方向に吹かしたら、静止軌道に載せるときとは逆に、円軌道（ほぼ円軌道といったほうがいいでしょうか）から楕円軌道に戻ってしまうということですね。
やっぱり人工衛星で考えるのは正解だったようですね。
わかりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/13 21:03

No.7 回答者： tocoche 回答日時： 2002/09/13 19:07

地球の衛星となる速度（第一宇宙速度）が約８ｋｍ／ｓ、地球の引力を振る切る速度（第二宇宙速度）が約１１ｋｍ／ｓなので、その差は約３ｋｍ／ｓ。

　地面を蹴っただけでは、そんなに加速しないので少し高い軌道に移ります。　しかしその軌道も、地球の中心を一方の焦点とし地表を蹴った点を通る楕円となるので、ほっておけば着地します。　遠心力と引力がつりあっているといっても、実際は地球の表面に沿って落下し続けているだけなので、垂直方向に跳び上がった場合は引力は同じように効いているので、すぐに着地すると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。ところで、第一宇宙速度と第二宇宙速度の差って何を表しているんですか。

お礼日時：2002/09/13 22:21

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 01:46

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ

地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ／｜ｒ｜＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ｜－１／｜ｒ０｜）
ｒ＝∞でｖ（ｔ）が存在 すなわち
√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＝√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
放物線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて地球の衛星になる

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 00:11

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ

地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ／ｒ＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ｜－１／｜ｒ０｜）
ｒ＝∞でｖ（ｔ）が存在
すなわち√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて地球の衛星になる

No.3 回答者： saigoudon 回答日時： 2002/09/12 23:00

自信が無いのですが、

ジャンプした瞬間に地面から足が離れるから
遠心力は働かなくなって
その時の地球の自転方向に等しい方向に
速度v=sqrt(GM/r)
G:重力定数(っていうんでしたっけ?)
M:地球の質量
r:地球の中心から地球表面までの距離
で飛び出した人間が地球の引力によって再び
地面に落ちて来るのか、それともどこかに飛んでいってしまうのか?
という問題になるのではないかと思ったのですが、
どうでしょうか?
なにぶん自信が無いので間違ってたらすいません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「糸につながれた球がぐるぐる回っているときに糸を切ったら球はその瞬間の運動方向に飛んでいってしまう」というのに似ていますね。でも違うのは切ったあとに引力が働くということですね。
しかし、そもそも遠心力という見かけの力を使っているために僕の頭がごちゃごちゃしているような気がします。すみません、もう少し考えさせてください。

お礼日時：2002/09/13 19:26