r^(a/b) が有理数ならばr^(1/b) が有理数

分数a/bの分母・分子を既約な整数で、また分母が正とします。
つまり、gcd(a, b) = 1、b > 0。

このとき、rを有理数として、

r^(a/b) が有理数ならばr^(1/b) が有理数

であることは正しいと思われますが、どのように証明できるのでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/12/16 18:52

すみません。

訂正します。

r^(a/b) が有理数となる場合は、
ｒの分子、分母をそれぞれ、素因数分解したとき、素因数分解の一意性より、個々の素因数の指数は、ｂの倍数でなければなりません。すると、ｒの指数の分母ｂは簡約されますね。したがって、r^(1/b)は有理数になります。

No.4 回答者： waseda2003 回答日時： 2007/12/16 18:53

aとbが互いに素であることより

　　　am + bn = 1
を満たす整数m，nが存在しますから，
　　　(a/b)m + n = 1/b
したがって，r^(a/b) が有理数ならば，
　　　r^(1/b) = {r^(a/b)} ^m * r^n
も整数となります。

表向きは出てきませんが，r^(a/b)が定義できるという
ことから，rは「正の」有理数ですよね。
途中に用いた定理の証明は dfhsds さんにお任せします。

rを（正の）有理数と仮定するより，むしろ
　　　r = 2^(3/4)，a = 4，b = 3
のときのように，r^(a/b) が有理数でも r^(1/b) が有理数
とは限らないということの方に興味が惹かれました。

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/12/15 20:21

あっ、そうか、論理の問題ですよね。

b=1のとき、命題は明らかに「真」ですよね。
b>1のときは、r^(a/b) は有理数となりませんから、
「r^(a/b) が有理数ならばr^(1/b) が有理数」
は「真」です。
仮定が「偽」なら、結論は何であっても、命題は「真」となるのです。

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/12/15 20:06

gcd(a, b) = 1で、b>1なら、rを有理数としたとき、

r^(a/b) は有理数となりません。

b=1ならば、
「r^(a/b) が有理数ならばr^(1/b) が有理数」
は明らかですよね。

問題のミスか、何か勘違いされているような気がします。

この回答へのお礼

4^(3/2)=8
や
(4/9)^(3/2)=8/27
などのように、r^(a/b) は有理数となることがあります。

お礼日時：2007/12/15 22:13