どうしても解けません（二次関数と一次関数）

二次関数y=1/3x2のグラフ上に２点Ａ・Ｂがあり、この２点を通る直線はx軸と点Cで交わる。
点Ａのx座標はa、点Ｂの座標は（-6,12)である。
*最初の二次関数は「y=３分の１xの二乗」。

△OABと△OCAの面積の比が2：1の時、aの値を求めなさい。
ただしa>0とする。

答えは２√３なのですが、解き方が分かりません。

お分かりの方がいらっしゃったら是非、解き方を教えてくださいませ。

No.1 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2007/12/15 23:23

直線は２通り考えられますが、面積比から右下がりの直線

とわかります。
△ＯＡＢと△ＡＯＣの底辺をそれぞれＡＢ，ＡＣとみれば
頂点Ｏが一致するので２つの三角形の高さは等しくなります。
よって、面積比からＢＡ：ＡＣ＝２：１とわかります。
Ｂのｙ座標は12なので、これを２：１に分けると８：４に
なることから　点Ａのｙ座標は４であることがわかります。
あとは　ｙ＝1/3ｘ^2に（ａ,４）を代入すればａ＝２√３
です。

この回答へのお礼

早々に回答を頂いたのにお返事が遅くなりスイマセン…汗

Y軸を基準に見ていたので,いつまで経っても解答に辿り着けずにいたところ,スッキリすることができました！

本当にありがとうございます！

お礼日時：2007/12/18 16:20

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2007/12/16 06:47

△OAB：△OCA=2：1　から

△OCB：△OCA=3：1

底辺共通（OC）なのでBのy座標：Aのy座標=3：1
∴　1/3*a^2=4
a^2=12
a=2√3
（∵a>0)

この回答へのお礼

シンプルで分かりやすい説明ありがとうございました！
とても分かりやすく納得することができました。

お返事が遅くなってスイマセン…汗

お礼日時：2007/12/18 16:16

No.2 回答者： takeches 回答日時： 2007/12/16 00:20

＃１の人の解き方が思いつきましたが、同じでは面白くないので、面積から逆算する方法を書きます。

座標Ａのｘ座標をｐとおきます。
このとき、Ａ・Ｂを通る直線の式を求めれば、
△OABの面積を求められます。よって、
(-6,12)と(p,(1/3)p^2)を通るので、
12=-6a+b
(1/3)p^2=ap+bより連立方程式として、
36=-18a+3b
-) p^2= 3ap+3b
------------
36-p^2=-18a-3ap
p^2-36=18a+3ap
(p+6)(p-6)=3a(p+6)
p-6=3a
3a=p-6
a=(p-6)/3
36=-18×(p-6)/3+3b
36=-6(p-6)+3b
3b=36+6(p-6)
b=12+2(p-6)
=12+2p-12
=2p
よってこの直線の式は、
y=((p-6)/3)x+2p
と定まります。

切片が2pなので、
△OAB=(6+p)×2p×1/2
=p(6+p)
=6p+p^2

また、Ｃの座標は、
0=((p-6)/3)x+2p
((p-6)/3)x=-2p
(p-6)x=-6p
x=-6p/(p-6)
よって、
△OAC=-6p/(p-6)×(1/3)p^2×1/2
=-p^3/(p-6)

2△OAC=△OABより
-2p^3/(p-6)=6p+p^2
-2p^3=(6p+p^2)(p-6)
-2p^3=6p^2-36p+p^3-6p^2
-2p^3=-36p+p^2
-3p^3=-36p
p^2=12
p=±2√3
p>0より
p=2√3

よって、Ａのx座標は2√3です。ただ、現実的には、＃１様のように、Ａのy座標を4と求めてからx座標を求める方が簡単でしょうね。

この回答へのお礼

返事が遅くなりスイマセン…。

長々と丁寧な解き方をカキコして頂きありがとうございます！
別の解き方というコトで時間がある時に是非、検証してみてみたいと思います！

お礼日時：2007/12/18 16:18