積分可能について

すごい単純な問題かもしれないのですが…
表記がややこしくてすみません。

(問)[ａ,ｂ]において、
　ｆ(ｘ)＝｛　１　（ｘが有理数）
　　　　　｛　０　（ｘが無理数）
このｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で有界であるが、積分可能でないことを示せ。
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有界の証明
　∃Ｋ　∀ｘ∈[ａ,ｂ] ： ｜ｆ(ｘ)｜＜Ｋ

↑有界の証明は多分コレでいいと思うのですが、　積分可能は……？

すみませんが、よろしくお願いします。

No.3 回答者： hfodfpow9 回答日時： 2007/12/20 22:53

|f(x)|≦1なのですから有界なのは自明でしょう。

積分可能性ですがルベーグ積分の定義においてはf(x)は積分可能で積分値
は0になります。これは有理数の集合は測度が0であるからです。
しかし、リーマン積分の定義ではたしかに積分可能ではないです。
区間[a,b]をどのように細分化してもその区間において
最大値が1,最小値が0となる(有理数の稠密性より)ためジョルダン
内測度が0、ジョルダン外測度は1となり積分値が定まらないのです。

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/010 …

No.2 回答者： connykelly 回答日時： 2007/12/20 19:44

Rieman積分が可能ということは＃１のAsanoNagiさんがご回答されているように上積分と下積分が一致することが条件です。

さて、ご質問の関数はディリクレの関数と呼ばれるものですね。ルベーグ積分の話によく出てくる関数と思います。詳細はココ↓を参照ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3% …
上積分、下積分↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa612612.html

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3% …

No.1 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2007/12/20 19:25

∃Ｋ　∀ｘ∈[ａ,ｂ] ： ｜ｆ(ｘ)｜＜Ｋ

これは、有界であることの定義であって、証明にはなってない気がします。

さて、積分可能でないことは、「上積分」と「下積分」が一致しないことを示せばＯＫです。