自然数の問題

宜しくお願いします
２けたの自然数aと３けたの自然数ｂについて、a：ｂ＝３：４であり、
√a+bの値が自然数となるとき、a、ｂの値を求めなさい。
という問題の答えは、a＝84、ｂ＝112です。

√a＋bの値が自然数となるので、11×11＝121　
12×12＝144　・・・で、
３：４になる数　かつ　７の倍数になる数を見つける方法しか
思いあたりませんでした。

どのように求めたらよいのでしょうか？
宜しくお願いします

No.5 ベストアンサー 回答者： k_yuu01 回答日時： 2007/12/23 22:28

a:b=3:4より

3b=4a
∴b = (4a)/3
√(a+b) = √(7a/3)
となります。
ここでaについて考えます
aは３の倍数でないと分母の３が消えません。また７の倍数でもないと√７が残ってしまい、自然数になりません。
よってa＝３×７×ｎ　（ｎは自然数）
…としたいところですが、すると今度は√ｎが残ってしまうのでn＾２と
置いて
a＝３×７×n＾２
aは２桁の自然数なので、nの取りうる値は１～２となります

今度はbに注目
「√(a+b) = √(7b/4)」
bは４の倍数でないと分母の４が消えず、ややこしいことになります。また７の倍数でもないと√７が残ってしまい、自然数になりません。
よってb＝４×７×ｎ　（ｎは自然数）
…としたいところですが、先程と同様、√ｎが残ってしまうのでn＾２と置いて
b＝４×７×n＾２
bは３桁の自然数なので、nの取りうる値は２～５となります

aとbにおける、それぞれのｎの取りうる範囲で重複するのは２しかありません。よって
a＝3×7×2＾2＝84
b＝4×7×2＾2＝112

最低限の計算式しか挙げてないのでわかりずらかったらすいません（＾＾；

この回答へのお礼

ご回答有難うございます

とても分かりやすかったです
有難うございました

お礼日時：2007/12/24 00:03

No.6 回答者： deus_ex_machina 回答日時： 2007/12/25 04:39

値の範囲が極めて限られていますから、無理に一般化するよりも、

素朴に範囲を絞っていって、既知の平方数と比較した方が簡単かもしれません。
以下、あくまで「回答」で、「解答」としては少し端折りすぎですが…。

まず、ａが２桁の自然数であることから、ｂの範囲が限定されます。
　ａ ≦ 99　⇒　ｂ ≦ 99*4/3　⇒　100 ≦ ｂ ≦ 132　…１

同様に、
　ｂ ≧ 100　⇒　ａ ≧ 100*3/4　⇒　75 ≦ ａ ≦ 99　…２

１，２より、ａ+ｂの範囲が限定されます。
　175 ≦ ａ+ｂ ≦ 231　…３

ａ＋ｂは７の倍数であり、かつ平方数ですが、
そのような数　7^2，14^2，21^2，…　について、３の範囲を満たすものは、
7^2＝49，20^2＝400　を考慮すると14^2しかありません。

よって
　ａ+ｂ ＝ 196　⇒　ａ ＝ 84，ｂ ＝ 112

この回答へのお礼

ご回答有難うございました

お礼日時：2007/12/26 22:44

No.4 回答者： info22 回答日時： 2007/12/23 20:39

a/3=b/4=kとおくと,

a=3k, b=4k…(1)
(1)とaが2桁だから
10≦a=3k≦99 → 4≦k≦33…(2)
(2)と(1)とbが3桁だから
100≦b=4k≦999 → 25≦k≦33…(3)

a+b=7k=m^2…(4)　より
k=7n^2…(5)
(3)に代入
25≦7n^2≦33
4≦n^2≦4
∴n=2
(5)から
∴k=7*4=28
(1)より
∴a=3*28=84, b=4*28=112

この回答へのお礼

ご回答有難うございます

まだ理解しておりません
ゆっくり考えてみます。

有難うございました

お礼日時：2007/12/23 22:09

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2007/12/23 20:18

#2です。

うっかりミスです。

b=28n^2
b>100から
28n^2>100
n^2>3.57
に訂正します。すみません。

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2007/12/23 20:15

b=4/3*a

a+b=7/3*a
√(a+b)が整数になりますからaは3と7の倍数かつ、ある自然数の
2乗の倍数となります。つまり21n^2です。bは49n^2ですね。

後は21n^2が2桁で49n^2が3桁になるようにn^2(結局n)を
決定すればよいことになります。
21n^2<100
から
n^2<4.76
49n^2>100
から
n^2>2.04
nは2(つまりn^2=4)しかありません。
よって

a=3*7*4=84
b=84/3*4=112

となります。

この回答へのお礼

ご回答有難うございました

＞√(a+b)が整数になりますからaは3と7の倍数
これはなんとなくわかります

＞ある自然数の2乗の倍数となります。
ｎの二乗　　これもわかります
が、
＞つまり21n^2です
21とn^2をかけるのは　どうしてですか？

お礼日時：2007/12/23 21:54

No.1 回答者： tree1234 回答日時： 2007/12/23 20:11

a=(3/4)b

なので
√a＋b=√(7/4)b
従って、bは4*7=28の倍数となる。
あとはこれに、1*1,2*2,3*3
を順次かけて行く。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます

√(7/4)ｂ　のとき　ｂは４×７＝２８の倍数
√(7/3)a　のとき　aは３×７＝２１の倍数

と考えればよいのでしょうか

お礼日時：2007/12/23 21:32