微分方程式の一般解の求め方で・・・・

次の微分方程式の一般解を求めよという問題です。
xtan(y/x) - y + xy' = 0
これってどうすればいいのでしょうか？
u=y/xとおいたのですがとけませんでした。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/01/03 09:33

>∫{1/tan(u)}・du= ∫(1/x)・dx

> ⇔log(tan(u)) = logx + C
>となったのですがこれって間違いですか？
3重に間違っています。
左辺の積分、右辺の積分、対数の真数の絶対値なしの3つの間違いがあります。

なお、ln(natural logarithm)とlog_e
は自然対数で同じです。
積分結果が対数になる場合、対数の真数が正でないといけない。
しかし、対数の真数の中の変数が正負の値をとるとき絶対値をつけることが必要になります。
ですから
⇔log(|sin(u)|) = -log|x| + C
となります。なお、1/tan(u)の積分も右辺の1/xの積分の符号も間違っています。
∫1/tan(u) du=∫cos(u)/sin(u) du=∫1/sin(u) d(sin(u))
=log_e (|sin(u)|) +C

高校ではlog_10とlog_eを常用対数と微積分では同じ記号ですが
使う範囲で同じ記号のlogを使って紛らわしく、前後の文脈関係で
log_10かlog_eのどちらの対数かを使い分けないといけません。
大学の数学や理工学ではlogの共用で紛らわしいのでlog_10を単なる
log,log_eをlnで表す事が多くなります。特に対数の底が明確で
ないような対数の記号の使い方を避ける意味でそうなったのかも
知れませんね。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/01/03 01:54

u=y/x(x≠0,u)とおくと

y=ux
dy/dx=u+xdu/dx
これを代入
x tan(u)-xu+xu+(x^2)du/dx=0
x≠0よりxで割ると
tan(u)+xdu/dx=0
du/tan(u)=-(1/x)dx
ln|sin(u)|=ln|C'/x| (C'は積分定数）
sin(u)=C/x (CはC'に絶対値をはずす時の符号をつけた定数)
u=y/xを代入
　sin(y/x)=C/x
（更にyについて解くことも考えられるが、解はこれでもよい。）

この回答への補足

du/tan(u)=-(1/x)dx
から
ln|sin(u)|=ln|C'/x| (C'は積分定数）
の部分へのプロセスがわからなかったです。
∫{1/tan(u)}・du= ∫(1/x)・dx
⇔log(tan(u)) = logx + C
となったのですがこれって間違いですか？

補足日時：2008/01/03 08:19