指数分布について

確率変数Xが次のような密度関数をもつ指数分布に従っているとき
密度関数
f(x)＝３exp（-3x）　　　ｔ≧０
　　＝０　　　　　　　　ｔ≦０
このとき
確率変数U=exp（－３X）と定義するときに、Uの従う分布はどうなるかを求めたいのですが、どうすればよいのでしょうか？？
まずUの分布関数を求めて、微分をしようとしているのですが。
P(U<x)=P(exp（－３X)＜ｘ）＝P(T>-1/3logｘ）
このときの積分範囲は０からになるのでしょうか？？
そうするとUの分布関数は１になり、密度は０になるということでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2008/02/05 21:49

U=exp(-3X)とおくと、X<0のとき確率0なので、U>1のとき確率0。

X>0のとき0でない確率があるので、0<U<1のとき0でない確率があること
になる。
U<0にはならないので、このときも確率は0。
U=exp(-3X)の指数関数のグラフを描いてみると良い。
つまり、0<U<1のときの密度関数を考えれば良い。
P(U<u)=P(exp(-3X)<u)=P(-3X<logu)=P(X>-logu/3)
であるが、0<u<1なので、logu<0、-logu/3>0であり、正である。
これは簡単に計算できると思うので、あとはuで微分すれば良い。

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/05 21:39

なんでやねん。

記号が勝手にコロコロ変わるので読みづらいのだが、結局のところ、
Ｐ（Ｕ＜x）＝　Ｐ（exp(-3Ｘ)＜x) = Ｐ（Ｘ＞ -(1/3)log(x)）
まで分かっているわけですよね。
で、Ｘ が -(1/3) log(x) より大きくなる確率を求めれば良いと。
そのまんま、-(1/3) log(x) から∞まで積分すればよかろう。

Ｕは0より大きく1以下の値しかとらないから、
x≧1 なら積分範囲は0から∞でＰ（Ｕ＜x）＝ 1
0＜x＜1 なら積分範囲は -(1/3)log(x) から∞ で Ｐ（Ｕ＜x）＝ x
x≦0 なら Ｐ（Ｕ＜x）＝ 0

No.1 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/02/05 20:42

>確率変数U=exp（－３X）と定義するときに、

この表現が間違いで、

>密度関数
>f(x)＝３exp（-3x）　　　ｔ≧０
>　　＝０　
であれば、

分布関数は、定義から
P(U<x))=∫[-∞,x]f(t)dt
であり、

(a)x≦0の場合は、P(U<x))=∫[-∞,x]f(t)dt=0
(b)x>0の場合は、P(U<x))=∫[-∞,x]f(t)dt=∫[0,x]3exp（-3t）dt=1-exp（-3x)
ですね。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
お聞きしたいのですが、
f(x)=3exp(-3x)　　　ｘ≧0　　
　　=0
であるのは確率変数Xの密度関数だと思うのですが、
Uの密度関数はこれとは違うとと思うのですがどうでしょうか？？

お礼日時：2008/02/05 21:29