0が0でわれないことの証明はどうしたらよいのでしょうか。

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質問者：kiihunter
質問日時：2008/02/07 07:55
回答数：8件

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回答 (8件)

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No.8

回答者： Charlie24
回答日時：2008/02/09 09:25

#5さんのロピタルの定理云々というのは0/0が値を持つことがある

ということを言っているのではなく、
ある関数f(x)に対して、x=aをそのまま代入すると0/0で
表現されてしまうものもx→aにできるだけ近づけたときに
f(x)はある値に近づく。その値を求める方法について述べているの
だと思いますが。

だからロピタルの定理を使っても0/0は0/0だと思います。

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この回答へのお礼

私は「双曲線」のグラフで直観的に分かる（少しくは危ういとは感じていましたが……）と考えていましたが、大間違いでした「Charlie24」様を初め、多数の方に、色々とご親切な説明をいただき、ありがとうございました。おそらく、みなさま方は、数学がお得意で、もしかしたら「理学部数学科」ご出身の方々かなと恐縮しております

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お礼日時：2008/03/07 00:40

No.7

回答者： gootaroh
回答日時：2008/02/08 09:38

実際割ってみましょう。

まず、大前提としての確認ですが、
A÷B＝C
であれば、割り算は掛け算の逆ですから、検算すると、
C×B=Aですよね。

例えば、
1÷5＝0.2
であれば、0.2×5＝1になります。

では、分母・分子がいずれも「0」の場合はどうなるでしょうか？
0÷0＝A
ですので、A×0＝0

「0」に何を掛けても答えは「0」ですので、この場合のAはどんな数値でも成立します。

つまり、Aは「0」でもいいし、「1」でもいいし、「100」でも「マイナス250兆」でもいいですよね。

こういうのを「不定」といいます。答えが一つに定まらない、といういみですね。

逆にいえば、「0」とか「1」などのように、答えを一つに定めると「間違い」ということになるのです。

類似のものに分母だけ「0」というのもあります。

例えば
5÷0＝A
であれば、A×0＝5となりますが、「0」に何を掛けても答えは「0」ですので、何かに「0」を掛けて「5」になるAなんて存在しません。こういうのを「不能」といいます。計算不能という意味ですね。

「不定」であれ「不能」であれ、通常のような計算ができないことには変わりありませんので、一般的には分母が「0」である時点で分子に関係なく「計算しない」ことにしているわけです。こうしたルールを作ることを、数学では「定義する」と表現します。

Excelでも分母が「0」の時点で「#DIV/0!」という表示が出ます。これは「ゼロ除算エラー」と呼ばれるものです。

でも「不定」と「不能」とでは、意味合いが微妙に異なるんですよね。「不定」でのAはどんな数値でも式は成立しますが、「不能」でのAはどんな数値でも式は成立しないという違いです。まあどっちにしても計算できないので「異常」ということには変わらないんですがね。

このほか、分子だけ「0」という割り算もあります。これは「異常」ではなく「正常」です。

検算してみると、例えば
0÷5＝A
だとすると、A×5＝0
ですので、Aは「0」しかありませんよね。別におかしくはありません。

ドリンクの自動販売機に例えると、通常は、お金を入れて好きな商品のボタンを押すと、そのボタンに対応した商品が1つ出てきますよね。

「お金を入れずにボタンを押したら、何も出てこなかった」というのが「0÷5＝A」の状態。当たり前ですよね。

「お金を入れてボタンを押したが、何も出てこなかった」というのが「5÷0＝A」の状態。つまり「不能」です。故障です。

「お金を入れずにボタンを押したら、全種類の商品が出てきた」というのが「0÷0＝A」の状態。つまり「不定」です。大故障です。（消費者にとっては嬉しい故障ですが。笑）