因数分解 a（bII－cII）＋b（cII－aII）＋ｃ（aII－bII）

「基礎からのシグマベスト　高校　これでわかる数学I＋A」という本をやっています。
この本は、精神科医で受験アドバイザーでもある和田秀樹さんが推薦してらっしゃる本で、非常に丁寧で良書といわれます。

しかし、最初の因数分解でもうつまづいてしまっています…。

a（bII－cII）＋b（cII－aII）＋ｃ（aII－bII）　　　「II」＝２乗
　　　
解法ルール
(1)次数の低い文字について整理する
(2)どれも同じ次数のときは、1つの文字について整理

　　　↓解説
どの文字についても２次。aについて整理すると
＝（ｃ－ｂ）aII＋（ｂII－ｃII）a＋（ｂｃII－bIIｃ）
＝（ｃ－ｂ）aII＋（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）a＋ｂｃ（ｃ－ｂ）
＝（ｃ－ｂ）｛aII－（ｂ＋ｃ）a＋ｂｃ｝　←たすきがけを使う
＝（ｃ－ｂ）（a－b）（a－c）
＝（a－b）（b－c）（ｃ－a）…答

解説の２行目の式からしてもう意味不明です……。まず最初の（ｃ－ｂ）aIIというのがどっから来てるのかさっぱりです。しかもこれは例題です。これが解からないと練習問題なんか全部解かりません。

60分以上考えても解からず断念しました…。最近では「数学は5分考えて解からなければ答えを見る。それでも解からなければ、すぐ人に聞け。」と言われます。

また、（　）aの様に、（　）の後ろに文字が来るというのは、この本では何も解説していませんが、どういうケースなんでしょう？　（　）の前に文字が来るのとどう違うのですか？

又はこの問題が解からなくても先に進んで問題無いでしょうか？
宜しくお願い致します。

No.8 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2008/02/09 04:36

　最初の式が書かれていないので、

推測で書きます

　　a（ｂII－ｃII）＋ｂ（ｃII－aII）＋ｃ（aII－ｂII）　

　　　　　aについて整理するので、
　　　　　後の２項の括弧をはずします。

＝a（ｂII－ｃII）＋[ｂｃII－ｂaII＋ｃaII－ｃｂII]

　　２次の項は、－ｂaII＋ｃaII
　　定数項は、ｂｃII－ｃｂII　ですから、

＝a（ｂII－ｃII）＋（－ｂaII＋ｃaII）＋（ｂｃII－ｃｂII）　

　　（－ｂaII＋ｃaII）＝（ｃ－ｂ）aII　、で

＝a（ｂII－ｃII）＋（ｃ－ｂ）aII＋（ｂｃII－ｃｂII）　となります。

　　　次数の高い順に並べ替えて、

>> ＝（ｃ－ｂ）aII＋（ｂII－ｃII）a＋（ｂｃII－ｃｂII）

　　　aを後ろにもって来るののは、
　　　係数が数のときに、
　　　２aII＋３a＋４　と書くのに準じています。
　　　此れは出来るだけ早く慣れるのが賢明です。

　　　　（ｂII－ｃII）＝（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）、
　　　　（ｂｃII－ｃｂII）＝ｂｃ（ｃ－ｂ）、で

>> ＝（ｃ－ｂ）aII＋（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）a＋ｂｃ（ｃ－ｂ）

　　　共通因数（ｃ－ｂ）が見え易くするために、
　　　　（ｂ－ｃ）＝－（ｃ－ｂ）　として、

　　＝（ｃ－ｂ）aIIー（ｂ＋ｃ）（ｃ－ｂ）a＋ｂｃ（ｃ－ｂ）

　　　共通因数（ｃ－ｂ）を括り出して、

>>　＝（ｃ－ｂ）｛aII－（ｂ＋ｃ）a＋ｂｃ｝
　
　　　　　aIIの係数は１だから、
　　　　　タスキガケというより、
　　　　　足して－（ｂ＋ｃ）、掛けてｂｃ
　　　　　となる２数（２文字）は、－ｂ　と　ーｃ　だから、

　　＝（ｃ－ｂ）｛　（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）　｝
>>　＝（ｃ－ｂ）（a－b）（a－c）

　　　形が悪いので、ａ、ｂ、ｃ　が回るように、
　　　入れ替えます。
　　　此れを輪環の順と言います。
　　　（a－b）は、此のままです。
　　　（ｃ－ｂ）＝－（ｂ－ｃ）
　　　（a－c）＝－（c－a) だから、

　　＝[－（ｂ－ｃ）]（a－b）[－（c－a) ]

　　　　２つのマイナスが相殺して、
　　＝（ｂ－ｃ）（a－b）（c－a)　

　　　　（a－b）を先頭に持って行き、
>>　＝（a－b）（b－c）（ｃ－a）…答


>>　この問題が解からなくても先に進んで・・・。

It depends .

この回答へのお礼

ありがとうございます。
a（bII－cII）＋b（cII－aII）＋ｃ（aII－bII）　←最初の式です。

＞共通因数（ｃ－ｂ）が見え易くするために、（ｂ－ｃ）＝－（ｃ－ｂ）　として、
＝（ｃ－ｂ）aIIー（ｂ＋ｃ）（ｃ－ｂ）a＋ｂｃ（ｃ－ｂ）

この部分解からなくて困ってました。たすきがけの部分も解かりました。
丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2008/02/10 03:47

No.7 回答者： okormazd 回答日時： 2008/02/09 04:11

「II」＝２乗　として式を表すことができるあなたなら因数分解など簡単にできるでしょう。

a(　) も、 (　)a も、aと(　)の中のものとかけるという意味で同じです。

私は、「^2」＝２乗 としましょう。


a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)

(　)の中とかけて(　)をはずすと、

= ab^2-ac^2 + bc^2-ba^2 + ca^2-cb^2

aで整理しやすいようにかける順番をとょっと変える。(3×5 も 5×3 も同じ、a^2はひとかたまりなのでaと^2に分けることはできないよ)

= ab^2-ac^2 + bc^2-a^2b + a^2c-cb^2

これで、a のついているものを先に書くと、(^2のついているものを優先しよう)

= a^2c-a^2b + ab^2-ac^2 + bc^2-cb^2

となって、はじめの2つには両方とも a^2 が かかっていて、3番目と4番目には両方とも a が かかっているので、これを(　)を使ってあらわせば、

= a^2(c-b) + a(b^2-c^2) + bc^2-b^2c

2行目の意味不明の式だぞ。
a^2は、(　)の前でも後でも同じだからね。

というわけだ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
順番を整理するですか、難しく考えすぎて基本的な事を見落としていたかもしれません…。
これなら解けそうです。

お礼日時：2008/02/10 03:32

No.6 回答者： info22 回答日時： 2008/02/09 03:50

>この本は、精神科医で受験アドバイザーでもある和田秀樹さんが推薦してらっしゃる本で、非常に丁寧で良書といわれます。

幾ら良書といっても、それを学ぶ人が理解できなければ、その人にとって、レベルが高すぎれば、今の段階では良書と言えないでしょう。
60分以上考えても解からず断念する問題が沢山現れるようならあなたにとって良書とは言えませんね。

大学の教科書が幾ら名著であっても、中学生に与えて読ませて理解できなければ、中学生にとっては役に立たない価値のない書と言えます。

あなたは独力で何とか理解できて学習が進まなければ、良書と言えないでしょうね。それを理解できる人にとっては良書でしょう。その良書がレベルが低すぎる人にとっては、役に立たないつまらない本と写るでしょう。

さて、質問ですが
＞解説の２行目の式からしてもう意味不明です
、
2行目は、解法ルール(2)を適用しただけです。
a,b,cについてどれも2次だから、その中のaについて整理したに過ぎません。つまり、a以外は単なる定数とみてaの2次式として整理します。
○a^2+□a＋△　←　２乗は「^2」で表すのが一般的です。
○□△には、定数のb,cの入った式になります。

＞まず最初の（ｃ－ｂ）aIIというのがどっから来てるのか

○の係数は、a^2の項だけを集めた時の定数の項の係数で 「b a^2」と「a^2 c」の２項しかありません。その２項をa^2で括れば○の係数(c-b)になります。

＞（　）aの様に、（　）の後ろに文字が来るというのは、この本では何も解説していませんが、どういうケースなんでしょう？　（　）の前に文字が来るのとどう違うのですか？

２次式の整理の形式が降べきの順の場合は次の形に決まっています。
○a^2+□a＋△
aの一次の項の係数の□はaの前に書く、つまり、係数の□の後ろにaを書くのが常識だと思いますが、違いますか？

＞どういうケースなんでしょう？

（ ）つまり□は、多項式の変数aの係数の１つですから
変数の前に係数を書くのが、常識だと思いますが、

＞（　）の前に文字が来るのとどう違うのですか？
整理したaについての多項式においては、aの係数である（ ）の後ろにaを書くのが常識だと思いませんか？
逆にすれば、へそ曲がりとしか、思われませんね。

こういう一般的に誰もが常識的なことと考えられないようなら、幾ら良書でも、あちらこちらで、何時間考えても、良書を読破できないでしょう。
何度も質問すると誰も応えてくれなくなるかと思いますよ。

多くの人にとって常識的なことが、あなたにとって常識的でなく、それが故に、解説が何時間かけても理解できない事になるのだと思いますが、どうしたら、克服できると思いますか？
このことは、数学の本を読む以前の問題のような気がしますが、いかがでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「常識がわからない」…ですか。そういう人が周りにいるんでしょうか。
私はただ意味が知りたかったんです。
「常識だと思いませんか？」ですが、本を読み始めたばかりなので何とも言えませんが、確かに常識を無視するのは、少なくとも数学に関しては致命傷ですね。

お礼日時：2008/02/10 03:27

No.5 回答者： looker1986 回答日時： 2008/02/09 03:22

ご質問の内容は、中学数学の範囲の問題です。

このままだと、同じような疑問が度々出てくるのではないでしょうか。
中学数学を復習されることをお勧めします。
といっても中学数学も基礎から受験レベルまで幅が広いので、
基礎的なことだけでも、復習してみてはいかがでしょうか。

aの２乗は掲示板などでは、一般的にa^2と表記されます。
1行目から2行目を詳しく書くと、
a(b^2－c^2)＋b(c^2－a^2)＋ｃ(a^2－b^2)
= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2　(展開する)
= ca^2 - ba^2 + ab^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2　（並び替える）
= (c - b)a^2 + ab^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2　（a^2を含む項を因数分解）
= (c - b)a^2 + a(b^2 - c^2) + bc^2 - cb^2 （aを含む項を因数分解）
となります。

a(b^2 - c^2)と(b^2 - c^2)aは同じ意味です。同様に、cb^2はb^2cと同じです。また、文字については()の前に書いても後ろに書いても全く同じですが、数字については、普通前に書きます。つまり、2(a-b)とは書いても、(a-b)2とは書きません。これは慣習的なことです。

このように一つの文字（この場合a）について上のような操作をすることを、「aについて整理する」等と言います。

これは解説等を読むときのポイントですが、ある行から次の行になるときに「どこが変わったか」を考えるようにすると、理解しやすいことが多いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この本は中学の基礎から理解し、高校の基礎まで教えるという本なんです。
文字の場合（）の後ろに書くんですね。

お礼日時：2008/02/10 03:19

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/09 03:18

こんばんは。

えーと、まず、
「ａの２乗」は、ａ^2　と書けばよいですよ。

元の式
a（b^2－c^2）＋b（c^2－a^2）＋ｃ（a^2－b^2）


＞＞＞まず最初の（ｃ－ｂ）aIIというのがどっから来てるのかさっぱりです

ａを主役にした式に直す、という方針で解きます。

元の式で、ａ^2　が２箇所ありますよね。
b（c^2－a^2）の中の　ａ^2
c（a^2－b^2）の中の　ａ^2
です。
ａ^2の係数は、－ｂとｃの２個であることはわかりますか？
だから　
（－ｂ＋ｃ）ａ^2　（＝（ｃ－ｂ）ａ^2）　・・・（あ）
となります。
これで、ａ^2 の項が完成です。

同様に、元の式で　ａの１乗が１箇所だけありますね。
a（b^2－c^2）のａです。
ａの項は、（b^2－c^2）a です。　・・・（い）

あとは、ａと関係がないのが、
b（c^2－a^2）　の中の　ｂｃ^2
c（a^2－b^2）　の中の　－ｂ^2ｃ
合わせて
ｂｃ^2　－　ｂ^2ｃ　（＝ｂｃ（ｃ－ｂ））　・・・（う）
です。

a（b^2－c^2）＋b（c^2－a^2）＋ｃ（a^2－b^2）　＝　（あ）＋（い）＋（う）
　＝　（ｃ－ｂ）ａ^2　＋　（b^2－c^2）a　＋　ｂｃ（ｃ－ｂ）　・・・（え）

ここで、乗法公式により（ｂ^2-－ｃ^2）の部分は、
（ｂ^2-－ｃ^2）＝（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ）
　　＝　－（ｃ－ｂ）（ｂ＋ｃ）

よって、（え）の続きは、
　＝　（ｃ－ｂ）ａ^2　－　（ｃ－ｂ）（ｂ＋ｃ）a　＋　ｂｃ（ｃ－ｂ）
共通因数（ｃ－ｂ）でくくって
　＝　（ｃ－ｂ）｛ａ^2　－　（ｂ＋ｃ）a　＋　ｂｃ｝

ここで、
ａ^2　－　（ｂ＋ｃ）a　＋　ｂｃ　は、基本的な因数分解で、
ａ^2　－　（ｂ＋ｃ）a　＋　ｂｃ　＝　（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）

よって、つづきは、
　＝　（ｃ－ｂ）（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）
　＝　｛－（ｂ－ｃ）｝（ａ－ｂ）｛－（ｃ－ａ｝｝
　＝　（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ｃ－ａ）



＞＞＞また、（　）aの様に、（　）の後ろに文字が来るというのは、この本では何も解説していませんが、どういうケースなんでしょう？　

上述したように、ａを主人公にして、ａ^2 の項、ａの項、残りの項　の３つに整理するということです。


＞＞＞
この問題が解からなくても先に進んで問題無いでしょうか？

この問題は、因数分解の基本要素が散りばめられているよい問題ですから、ぜひマスターしてください。
・ある文字について、乗数ごとに項をまとめてみる。
・（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）⇔　ｘ^2　－（ａ＋ｂ）ｘ　＋　ａｂ
・（ｘ＋ａ）（ｘ－ａ）⇔　ｘ^2 －ａ^2

この回答へのお礼

ありがとうございます。
良い問題ならば是非マスターします。
もう少しで解けそうです。

お礼日時：2008/02/10 03:16

No.3 回答者： sfdgwet4 回答日時： 2008/02/09 03:07

a（b^2-c^2）+b（c^2-a^2）+ｃ（a^2-b^2）

　　　　　　　　　　 ↓
ab^2-ac^2+bc^2-ba^2+ca^2-cb^2

x^2=Ｘの二乗　これでもうわかりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/10 03:14

No.2 回答者： tkssh 回答日時： 2008/02/09 03:07

a（bII－cII）＋b（cII－aII）＋ｃ（aII－bII）

まずこれを展開します　
a（bII－cII）＋b（cII－aII）＋ｃ（aII－bII）
＝abII-acII+bcII-abII+acII-bcII

まず↑の展開した中からacIIと-abIIを持ってきてaIIでくくります。
aII（ｃ-b）になりました。このaII（ｃ-b）は（ｃ-b）aIIといっしょです。

aII×（ｃ-b）も（ｃ-b）×aIIなので答えは変わりません。
まぁ簡単に５×３と３×５は一緒の答えになるそうゆうことです。
つまり（）の後ろにaが来てもそれは（）の前にaがあると言うことです。
これをふまえてもう1度やってみてください。

因数分解は基礎です。やってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
見落としていたかもしれません。もう一度やってみます。

お礼日時：2008/02/10 03:13

No.1 回答者： kei00z2 回答日時： 2008/02/09 03:04

取敢えず全部展開してａの次数で並び替えてください。

そしてａII、ａ、とカッコでくくっていけば２行目の状態になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
展開はしてみましたが、よくわからず……
もう一度試してみます。

お礼日時：2008/02/10 03:12