質問

直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に変数変換したとき、
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
となります。
図では、
http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1202739784 …
となるようですが、
この図でどうして、
dxdy=rdrdθ
と言えるのでしょうか?

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回答 (3件)

 ヤコビアンの公式の導出の話というより、直感的・視覚的に納得したいという話だと思います。

 ご質問のURLにあるようにr>0, π/2>θ>0のところで図を描いてみましょう。直交座標系上で
点A: (x,y)=(r cosθ, r sinθ)
点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)
点C: ((r+dr)cos(θ+dθ), (r+dr) sin(θ+dθ))
点D: (r cos(θ+dθ), r sin(θ+dθ))
をプロットしますとナナメの長方形(っぽい)ものになる。でもdr, dθがうんと小さいんで、これは長方形である。この長方形ABCDの面積Sを計算したい。丁寧にこつこつやれば出来ますよ。

 さて、点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)というのは、「rをdrだけ増やした時、xとyがそれぞれ幾らになったか」を表す点です。すなわち点Bとは、(x+(∂x/∂r)dr, y+(∂y/∂r)dr)に他ならない。
 そこで「rをdrだけ増やした時、xはどう変化するか」だけを考えると、
点E:(x+(∂x/∂r)dr, y)
がプロットできるでしょ。辺AEはx軸に平行で、長さが(∂x/∂r)drである。さらに、辺EBはy軸に平行で、長さが(∂y/∂r)drであり、この長さは「rをdrだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表しています。
 同様にして、「θをdθだけ増やした時、xはどう変化するか」と考えると、
点F:(x+(∂x/∂θ)dθ,y)
がプロットできます。ただし(∂x/∂θ)dθは負ですね。辺AFはx軸に平行で、長さが-(∂x/∂θ)dθである。さらに、辺FDはy軸に平行で長さが(∂y/∂θ)dθであって、この長さは「θをdθだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表している。

 すると台形EBDFの面積は((EB+FD)EF)/2
=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)/2
また、
直角三角形ABEの面積は(EB)(AE)/2=(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)/2
直角三角形ADFの面積は(FD)(AF)/2=(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)/2
と表せます。これらを使って△ABDの面積が計算できますね。長方形ABCDの面積Sは△ABDの面積の2倍なので、
S=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)-(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)-(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)
=(∂y/∂θ)(∂x/∂r)drdθ-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)drdθ
=((∂y/∂θ)(∂x/∂r)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ))drdθ
です。そして、
∂x/∂r=cosθ
∂y/∂r=sinθ
∂x/∂θ=-r sinθ=-y
∂y/∂θ=r cosθ=x
より
S=(x cosθ+ysinθ)drdθ=rdrdθ
です。

>水色部分の面積が
>r drdθ
>であることは分かるのですが、なぜそれは
>dxdy
>と等しいのですか?

座標系が異なるので異なるそれぞれの座標系では長方形の面積になっているわけですね。
その長方形の面積比がrというわけです。
直交座標系では縦軸にy,横軸にxを割り振っています。
極座標系のグラフを直交座標系に重ねて描くため混乱が起こるのです。
形が違うのになぜ面積が等しいかとね。
極座標系を横軸にθ、縦軸にrを割り振るとdrdθは極座標系の長方形の面積になっているわけです。直交座標系における長方形の面積と極座標系のrθ直交座標での長方形(直交座標系では扇形のような形になる)の面積の比がrになっている分けです。
直交座標系の面積素dxdyと極座標系の長方形の面積素drdθの間の比が
rなので、
dxdy=r drdθ
とそれぞれの面積素の間の関係になっているわけです。

一般的には(x,y)座標系から(u,v)座標系に座標系の間の変数変換をすると
面積素の比がヤコビアンとなることが計算から出てくるのです。
詳しくは参考URLの変数変換の所を参照して下さい。

直感的には、同じ積分領域を埋めつくせば言い訳で、微小な正方形のタイルdxdyを使うか、微小な扇型のタイルdrdθを使ってもいいわけです。
そのタイルの間の微小な面積比がrでそれをかけてやれば面積素が等しくなるというわけですね。
直交座標と他の座標系の座標変換についても、面積素の変換係数のヤコビアンをかけてやれば、面積素間の関係式が成り立つわけです。
少し参考URLをご覧になってそういった意味を考えて見てください。
難しい式や定理が出てきますが、簡単に考えれば上に説明したようなことになります。
同じ座標平面に面積素を乗せるから、面積素の形が違って面積が同じで無いと思うのではなく、それぞれの座標系では直交座標系を構成し微小長方形の面積素のなっていて、その変換係数であるヤコビアンをかけてやれば面積素間の関係式ができるわけですね。異なる座標系の面積素をXY座標系に重ねて描くから混乱してしまうわけです。面積素間の変換係数を使って異なる座標系の面積素を結びつける関係式と考えることになれることですね。

面積素の長方形の面積は
縦×横
ですから
xy座標では
縦がdy,横がdxで面積素dS=dxdy
ですね。

極座標系では面積素の長方形の面積は
縦×横
ですが
縦をdrとすると微小円弧の横は
rdθ=(半径)×(微小角[rad])
となることがお分かりになりませんか?
dS=縦×横=dr×(rdθ) = r drdθ
となるのです。
面積の単位は(長さ)^2 の次元を持ちます。
dθは弧度法でラジアンの単位がありますが、これは便宜上の単位で
無次元の単位(単位が無いこと)です。
つまり長さの次元を持っていません。

rdθで長さの次元をもつ微小円弧の長さになります。

このようにしっかりと角度の次元(度数法の°や弧度法のラジアン)は無次元の単位であることをしっかりと認識して置いてください。

この回答へのお礼

質問文のサイトにある図で、水色部分の面積が
r drdθ
であることは分かるのですが、なぜそれは
dxdy
と等しいのですか?

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