正方形と内接する2つの4分の1円によってできる面積

小学5年生の娘から質問された問題なのですが、
小学校レベルに限定して解くことができずに困っています。
(※塾の先生は小学生レベルでできると言っていたそうです)
どのようにして解いてあげたら良いのでしょうか？

設問は図で示された斜線の部分の面積を求めなさいという
問題でしたので、図を文章にしてみました。

【問題】
一辺10cmの正方形ABCDにおいて、
点Aを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
同様に、点Bを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
それら2つの4分の1円の交点をMとする。
その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。

何卒、宜しくお願いいたします。

No.8 回答者： laputart 回答日時： 2010/03/05 18:45

図にするとおそらく図(1)のブルーの部分の面積を求めよという問題ですね

これは小学生には少し難しいと思いますが
考え方として

(2)のオレンジの部分の面積に注目してください
同じ図形を４つ足すと、どうなりますか
正方形の面積からこの(2)を４つ足した面積を引くと中央の図形の面積が
求められます

よって(2)の面積を求めるのですが
(3)で正三角形に注目します

(2)の面積は(3)のオレンジと緑の面積(扇形）を求めて
正三角形の面積と合計して、大きな扇形の面積を引くと求められます。

あとは計算をして下さい。

この回答へのお礼

とてもわかりやすい御説明ありがとうございます☆

お礼日時：2010/03/05 23:37

No.7 回答者： px1949 回答日時： 2008/03/15 23:13

△AMBと△CMDの各面積の和を求めれば良いのですか？

ならば、この問題は完全に”とんちクイズ”ですね。

正方形の内部で、求めようとするのは△AMBと△CMDの面積ですが、逆にこれら以外の領域、すなわち、△AMDと△BMCの面積（両者は等しい）を考えたら、小学生にもわかります。

△AMDの面積は、辺AD(長さ10cm)を底辺とし、辺ADと点Mの距離(5cm)を高さとする三角形ですから、
△AMDの面積　＝　10cm　×　5cm　÷　2　＝　25cm^2　
（cm^2は、計算機の世界の一般ルールによって、cmの２乗、すなわち、平方cmを表します。）
△BMCの面積も、これに等しいのですから、
△AMDと△BMCの面積の和　＝　25cm^2　×　2　＝　50cm^2
です。

したがって、
△AMBと△CMDの面積の和
＝　正方形全体の面積(100cm^2)　－　（△AMDと△BMCの面積の和）
＝　50cm^2
となります。

ちなみに、点Mが正方形領域内部のどこにあっても、答えは一緒です。
”内接する4分の1円”やら、それらの”交点”などというのは、惑わすための小道具です。

この回答へのお礼

px1949様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。
御回答・アドバイスくださっている皆様へ三角形ではないかと
誤解を与えるような書き方をしてしまいましたことを
重ねてお詫び申し上げます。

お礼日時：2008/03/16 01:36

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/03/15 13:55

＞その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。

「その図形のAMBとCMD」って二つは三角形ですか？
それならルートも出てこないですが．

この回答へのお礼

kabaokaba様
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。

お礼日時：2008/03/16 01:31

No.5 回答者： ai4mms 回答日時： 2008/03/15 13:27

答えは５０平方センチメートルです。

ルート３は出てきません。

ルートを使って解きます。
ＡＢの中点をＮ、ＣＤの中点をＬとする。
三角形ＡＭＣ＝底辺ＡＢ×高さＭＮ÷２
　　　　　　＝１０×５√３÷２
　　　　　　＝２５√３
三角形ＣＭＤ＝底辺ＣＤ×高さ(線分ＬＮ－線分ＭＮ)÷２
　　　　　　＝１０×(１０－５√３)÷２
　　　　　　＝５０－２５√３
これらの和は２５√３＋(５０－２５√３)
　　　　　＝５０です。

ルートを使わないでは正方形ＡＢＣＤから
三角形ＡＭＤと三角形ＢＭＣを引いて説明するのが
一番いいと思います。

この回答へのお礼

ai4mms様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指しております。

お礼日時：2008/03/16 01:33

No.4 回答者： i_noji 回答日時： 2008/03/15 13:02

＞その図形のAMBとCMDが斜線(面積を求める)部分になっています。

は
△AMBと△CMDの和を求めよ、ということですか？

△AMBと△CMDの和を求めよ、であれば
等積変形を考えてみてください

この回答へのお礼

i_noji様
御回答ありがとうございます。
問題文の図を説明した私の文章が説明不足だったようで
御迷惑をお掛けしてしまい申し訳ございません。
AMBとCMDは共に三角形ではなく、正方形の辺(直線)と
正方形の中に描かれた4分の1円の弧によって囲まれた
部分のことを指します。

お礼日時：2008/03/16 01:30

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/03/15 10:14

＞中学生レベル(ルートを用いても良い)のであれば、

＞解くこともできますし、娘にも説明できます。

つまり
「小学生の問題としては解くことはできないが，
中学生の問題としては解くことができている．
しかし，それを小学生の知識内で表現することができない」
ということなのですから，その「中学生の解答」を
書いてみたらどうでしょう．

もし最終結果に根号が残るようであれば
・そもそも小学生ではとけない
のです．ただし
・問題文に何か注意書きがあってそれを使えば解ける
ということもあります
例えば，
円周率は3.14か3を用いるというのは当然，
注意書きにあるはずですし
そのほかこっそり
「一辺が1の正三角形の面積は0.43である」
みたいな注意書きがあるのかもしれません．

ちなみに・・・私も解いてみましたけども，
答えに「ルート3」残りますよね。

ちなみに・・・・
>点Aを中心として正方形ABCDに内接する4分の1円を描く。
これ普通は「内接」とはいいません．
「Aを中心に（劣）弧BDを描く」かな・・・

この回答へのお礼

kabaokaba様
御回答ありがとうございます。
私が娘に教えたやり方でも、kabaokaba様の御指摘のとおり
どうしても√が最後まで残ってしまいます。
根号が出てきてしまうということは中学生レベルですよね。
問題文には注意文や但し書きみたいなものもありませんでしたし…。

> 「Aを中心に（劣）弧BDを描く」かな・・・

私の表現の仕方が間違っていたようで、申し訳ありません。
問題用紙には、図と「斜線部分の面積を求めなさい。」しか
書かれていなかったもので、その図を文章でお伝えしたかったの
ですが、私の表現力・知識不足でした。大変失礼しました。

お礼日時：2008/03/16 01:25

No.2 回答者： oosaka_girl 回答日時： 2008/03/15 04:34

えー、小学生がよく分からないのですが、一辺10cmの正三角形の

面積が計算に要ると思いますが、小学生は知っているのですか？
正三角形の面積を1/6円の面積から引いてできる部分を1/12円の面積
から引けば、両側の銀杏の葉の半分のような形になります。
これの2枚分を正方形から引けばよいのですが、最初に書きました
ようにこの計算には、正三角形の面積(√3a^2)/4が必要になります。
そして、この√3が、最後まで残りますので・・・・、
本当できるのですか？

この回答へのお礼

oosaka_girl様
御回答ありがとうございます。
仰るとおり、一辺10cmの正三角形の面積の求め方(計算)や
それに伴って出てくる√3は小学校のレベルを超えているようでして
御指摘と同じように私も「小学生で本当にできるのだろうか？」と
感じているところなのです。
でも、娘が言うには「塾の先生はできると言った」とのことなので
頭を悩ませているところです。塾の先生の言い間違いかや出題ミスか
娘の聞き間違いならば良いのですが…。

お礼日時：2008/03/16 01:14

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/03/15 03:46

他の会員の方々、特に回答者の方々の迷惑にならないよう、以下、参考になさってください。

http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=607824&eve …

この回答へのお礼

中学生レベル(ルートを用いても良い)のであれば、
解くこともできますし、娘にも説明できます。
しかしながら、小学生レベルに限定されてしまうと
解くことも教えることもできなかったので、
『小学校レベルに限定して解くことができずに
困っています。』と質問欄に書かせていただいたのですが…。
マナー違反になってしまうのでしょうか？？？

お礼日時：2008/03/15 03:59