内積空間についての命題の証明についてです。
[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。
fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース
Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)
<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像)
<x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像)
で仮定より
<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=
<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>
と書ける。。。
からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
線型写像が「positive」というのは不要?
というか・・・線型写像が``positive''ってことが
<f(x),x>≧0(∀x∈V)
ってことではないのですか?
これなら「+」という意味が分かります
<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
だとなんで「positive」って名前なの?と疑問です.
#むしろ「transitive」(推移的)と名づけたいな
正規直交基底e1,...enをとれば
f(ei)の第i成分は表現行列{aij}の(i,i)要素aiiで
aii = (f(ei),ei) >= 0
だからトレースも0以上
この回答への補足
positiveの定義を間違っておりました。
fがpositiveであるの定義は
<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
且つ
<f(x),x>≧0(∀x∈V)
でした。これで題意が明確になりますでしょうか?
> 線型写像が「positive」というのは不要?
> というか・・・線型写像が``positive''ってことが
> <f(x),x>≧0(∀x∈V)
> ってことではないのですか?
positiveの定義を間違っておりました。
線形写像f:V→V(VはC上の有限次元内積空間)がpositiveであるの定義は
<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
且つ
<f(x),x>≧0(∀x∈V)
でした。でもkabaokaba様のお話しだと自己随伴"<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)"
の部分は不要そうですね。
> 正規直交基底e1,...enをとれば
> f(ei)の第i成分は表現行列{aij}の(i,i)要素aiiで
> aii = (f(ei),ei) >= 0
> だからトレースも0以上
これで上手く示せました。どうも有り難うございました。
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