数の分類。有理数、無理数、虚数、実数・・・

数学と物理に魂を燃やしている中２です。この世の中にはどんな数の種類があるのでしょうか？無理数や有理数、虚数や実数などの数の分類表を作ろうと考えています。途中まで完成（ＵＲＬ）したのですが、ほかにどんな種類の数があるのかがわかりません。ぜひ教えてください。



追記
もしよければ非循環小数を英語で言うとどうなるのかも教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： wata717 回答日時： 2008/03/20 09:32

大変素晴らしい意気に賛同します．しかし数の分類表は自分で作る必要は無いと思います．まず個々の数について十分理解することが先決でしょう．

非循環小数は無理数と同じではないでしょうか．だとすれば
irrational numberで，これは有理数rational numberに対比されるものです．日本語の単語がそのまま英語の語彙としては認められるものではないと思います．

No.3 回答者： phusike 回答日時： 2008/03/20 21:33

>ほかにどんな種類の数があるのかがわかりません

ということですが、そもそも「数」とは一体何なのでしょう？

「1, 2, 3, ...」と数えられる自然数は、人類が古くから手にしていました。
しかし、0の発見は人類史上偉大ですよね。
また、整数や有理数はともかく、
実数というのは数学的に非常に面倒な概念で
（しかしそうであるがゆえに便利なのですが）
例えばリンゴが0.5個というのをリンゴを半分に切った状態だと想定しても、
リンゴは分子からできていますので、その分子を分けることはできないとすれば、
リンゴの「個数」は必ず分数で表せるはず。
つまり、有理数でなければいけないわけなので、
「リンゴが√2個」あるという状況は想定できないわけです。
ましてや、「リンゴが3+2i個」あるという状況は、訳が分からない。

このように、数の体系を拡大していくにつれ、
数というのは単純に数えられるものではなくなりました。
そして、数を拡張するにつれ、色々便利な性質も増えていきますが、
それだけではなく、失われる性質もあります。


まず、「自然数」ではあらゆる数に対して加算と乗算ができます。
これは、それぞれ交換、結合則を満たし、さらに分配則も満たし、
かつすべての数に順序づけができる、非常によい「数」です。

ところが、自然数はすべての数に対して減算ができないので、
拡張して「整数」の概念が産まれました。

ところが、まだ除算がすべての数に対してできません。
そこで、0以外のすべての数で除算ができる「有理数」の概念が産まれました。
有理数は、それだけでなく、任意の2つの数を取ると必ずその間に有理数が存在するという、
稠密性という良い性質を満たします。

ところが、有理数は数直線上に表すと、
ぶつぶつの点の集合なので、
数直線上に直線として表せるという性質、完備性を持つように、
有理数を拡張したのが「実数」です。
（この完備性が非常によい性質で、なおかつ記述が面倒なのですが）
このおかげで微分や積分ができるなど、
実数は極めて便利な体系で、非常に良く用いられます。

しかし、実数係数のn次方程式は、
必ずしも実数の中に（重複度込みで）n個の解を持つとは限りません。
そこで、「複素数」という数を定義すると、
複素数係数のn次方程式は複素数の中に必ずn個の解を持つという、
非常によい性質、代数学の基本定理を満たします。
ここまでが数を拡張してきた、輝かしい成功の歴史です。

ところが、複素数から話が若干おかしくなりまして、
実数まではすべての数に大小関係を定められたのですが、
複素数では大小関係が定められません。
（やろうと思えば可能ではありますが、意味はありません）

複素数は、実部と虚部の2つの数の組として表せるわけですが、
それでは4つの数の組として表せる数があっても良いであろうというのが「4元数」で、
この下では乗法の交換則が成立しません。
つまり、 xy ≠ yx となります。

さらに「8元数」になると、乗法の結合則が成立しないわけで、
どんどん数としての望ましい性質を失っていきます。

ところが、少なくとも4元数に関しては3DCGを記述するのに非常に有用でして、
それでは、「数」とは一体何なのか？という疑問に辿り着くわけです。


私自身は数学は専門としていませんので、
専門的には違う見方もあるのかもしれませんが、
数とは、集合に適当な「数学的構造」を付け加えたものと私は考えます。
数学的構造とは、順序であったり、適当な演算であったり等です。

例えば、数学には数を縦横に並べた「行列」という概念がありまして、
(a b) = A
(c d)

(e f) = B
(g h)
としますと、
(a+e b+f) = A + B
(c+g d+h)

(ae+bg af+bh) = AB
(ce+dg cf+dh)
のように和と積が定義できます。
この2行2列の行列は順序構造を持ちませんし、
積に関して交換則が成立しませんが、
和に関する結合則・交換則と積に関する結合則、さらに分配則が成立し、
専門的には「環」とよばれるそれなりによい性質を満たす構造で、
実用上も非常によく使われます。

また、0を含めた自然数を2で割ったあまりを考えましょう。
（専門的には剰余類とよばれますが）
これは当然{0,1}の2つからなるわけですが、
この2つの和は元の数の和のあまり、
2つの積は元の数の積のあまりとしますと、
これまたきれいに和と積が定義でき、
今度は結合則、交換則、分配則を全部定義できます。
これはBoole代数とよばれ、
（細かい見た目は若干異なりますが）
コンピュータの中でやっている計算は基本的にすべてこれで表せる、
これまた非常によい性質を持った「数」です。

このように、数というのは、実用上便利かどうかをさておけば、
いくらでも自分で定義することができるものです。
実際数学者も様々な数を定義してきまして、
そのうち有用なものが現在でも使われているわけです。

No.1 回答者： sqrt777 回答日時： 2008/03/19 16:02

参考に

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0