一対一対応の演習（数学B、p38演習7）

空間に3点A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,p)があり、平面ABPに関して、原点と対称な点をQとする。
(1)Qの座標をpで表せ。
(2)原点から直線ABに下ろした垂線の足をRとする。線分QRの長さを求めよ。

(2)の解答
点Qは、原点Oの平面ABPに関する対称点であり、点Rは平面ABP上にあるから、QR=ORである。

ここの説明がまったくわかりません。なぜこのようになるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： aoitori007 回答日時： 2008/05/04 00:40

当方文系の学生なので、間違っていたら申し訳ありません。

直線OQと、平面ABPの交点をQ'とします。
この時、点Qは原点Oの平面ABPに関する対称点なので、直線OQと平面ABPは垂直に交わります。
点Rは平面ABP上にありますので、
・OQ'⊥Q'R
・Q'Q⊥Q'Rです。
ここで、三角形OQ'R,三角形QQ'Rに着目しますと、
・∠OQ'R=∠QQ'R=９０度
・Q'Rは共有
・OQ'＝Q'Q
ですので、二辺挟角相当で、三角形OQ'R,三角形QQ'Rは合同です。
よって、QR=ORになります。