トーナメント戦、リーグ戦の試合総数について

質問です。
n人でトーナメント戦・リーグ戦を行ったとき、
試合総数がそれぞれn-1、n×(n-1)÷２
になるのかよくわかりません。
お手数ですが、宜しくお願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2008/05/11 15:24

　既に出ている答よりましなことは書けないんですが、いろいろ思い出したので。

　n人のトーナメント戦の試合数はn-1。どんな組み合わせ方をしたって同じである。なぜなら、終わってみれば優勝者を除いて全員が1敗ずつしているから。
　この話を同級生から聞いて愕然としたのは、まだ掛け算もできない小学生のときです。数学のパワーに触れた最初の経験だったかも。
　気を取り直して、頭の中でトーナメントの樹形図を描いてみて、あっちをこう変えるとこっちがこうなる、ってちょっとやってみてから、「終わってみれば優勝者を除いて全員が1敗ずつしているから」の明快さに改めて感じ入ったのを憶えています。


　n人のリーグ戦（総当たり戦）。「n個の点をn角形に並べておいて、２点を結ぶ線をひく。どんどんやっていくときれいな網目模様ができるが、さて、こういう線は何本ひけるか」という問題と等価です。
　(1)ある点Aに注目する。点Aからひく線の相手を点Bとすると、点Bになれる点は点A自身を除くn-1個ある。だから点Aからひける線はn-1本。
　(2) どの点を点Aと考えても同じ事だから、n個の点全部について線の数を合計すれば、線はn×(n-1)本引ける。
　(3) いやちょっと待て。これだと、同じ線を丁度２度ずつ数えたことになっている（AからBで１本、BからAで1本、という風に）。だから答はその半分。
　この話も小学生の時に誰かから聞いた。トーナメント戦ほどの衝撃はなかったんですが、実際に「ひい、ふう、み」と数えた訳でもないのに「２度ずつ数えた」と言えてしまうのが面白かった。なるほど、線１本あたり２つの点が要るんだから２で割るんだな。それに、n×(n-1)を２で割ると必ず割り切れるってのも面白い。nか(n-1)のどっちかが偶数になる、ってことだ。旨く出来てるもんだな。という感想を憶えています。

　これが掛け算の九九の表と関係があることに気付いたのはだいぶあとになってから。
　九九の表は9人のプレイヤーによるリーグ戦のリーグ表にそっくりです。掛け算の答は気にしないで、ナニ×ナニなのか、だけに注目しますと、対角線（1×1, 2×2, …）を挟んで、右上の三角と、左下の三角が丁度裏返しになっている。たとえば、3×5は5×3と同じという風に。（なので、実を言うとstomachmanは九九の右上の三角の部分は憶えていないんです。）
　ただしリーグ戦の場合には、対角線のところ(1×1, 2×2,…)は（自分自身との試合ということになってしまうから）試合をしない。
　九九の表のます目のかずは9×9。これから対角線上のます目9個を除いたら9×9-9=9×(9-1)。そして、残った右上の三角と、左下の三角は同じであるから、ダブってる。なので、リーグ戦の試合数は9×(9-1)÷2。

No.2 回答者： ojisan-man 回答日時： 2008/05/09 18:29

トーナメント戦は回答者No.1さんの通りです。

リーグ戦（総当たり戦）の考え方は、ｎ個のチームの中から２チームを選び出す組み合わせがいくつあるかです。

仮に２チームを「１塁側」「３塁側」とすると、まず「１塁側」チームの選び方はｎ通りあります。「３塁側」チームは全体から１（１塁側チーム）を引いた数、すなわちｎ－１通りあります。

従ってその組み合わせは、ｎ×（ｎ－１）通りありますが、同じ組み合わせが前後で重複するので（Ａ対ＢとＢ対Ａ）、２で割れば正解です。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/05/09 15:50

トーナメントは1試合で1人の敗者が生まれます。

n人でトーナメント戦をした場合、n-1人の敗者が生まれたところで残りは1人でその人が優勝ということになり終了します。n-1人の敗者を生むためにはn-1試合必要ということになります。

リーグ戦は、それぞれ同じ対戦相手と1試合行うとすると一人一人はn-1試合行うことになります。n人いますから、のべn(n-1)試合ですが、これだとどの試合もダブって数えていることになります（Aさん対Bさんも数えていますしBさん対Aさんも数えていますから）。なので2で割ります。