高階導関数について

Question

参考書の高階導微分のところに『F(x)=X^n (n:自然数)のとき…F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』とあったのですが、理解できませんでした。
例えばF(x)=3x^3+7x^2-5x+20などといった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？
また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？

よろしくお願いします。

info22 · Accepted Answer

#1です。

A#2の補足質問について
> 普通にその公式を使わずF(x)=3x^3+7x^2-5x+20を2回微分するとF"=18x+14ということですよね。

それでOKです。

> また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？

指数部が分数やマイナスの数の場合も
「指数部を前に出して、指数部から1を引く」操作を微分回数だけ繰り返せばいいですね。

> これは『以下の関数に対しF'(1)、F'(2)を求めよ』とあったのですが、後者の方は2回微分しろという意味ではないのでしょうか。

意味が的外れです。
F'(x)はF(x)を一回微分したものです。
F'(x)のxにx=1やx=2を代入したのが　F'(x)やF'(2)です。
F'(2)は2回微分しろという意味ではありません。
しっかり覚えてください。

> 確かに参考書には『F"(x)tとかF^(2)(x)と表す』と書いてあってF'(2)という書き方は無いようですが…
F''(x)やF^(2)(x)は参考書の通りです（正しい）。
しかし、質問者さんが、混同（混乱）しているだけです。

F'(2)はF(x)を一回微分してx=2と置いたもの
F^(2)(x)=F''(x)はF(x)をxで2回微分したもの

しっかりと正しく覚えておいて下さい。

koko_u_ · Answer

>F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』とあったのですが、理解できませんでした。
一般の n で理解できない場合は、まずは n = 1, 2, 3 と具体的に計算して下さい。

>といった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？
特にあてはめる必要はなく、普通に 2回微分すればよいでしょう。

>累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？
実際にやってみれば解決します。

info22 · Answer

> 『F(x)=X^n (n:自然数)のとき…F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』
> とあったのですが、理解できませんでした。

「^(n)」はn階微分、つまりn階微分する記号のようですね。

> 例えばF(x)=3x^3+7x^2-5x+20などといった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？
例が適当ではありません。参考書の公式の例なら
F(x)=1の場合　F(x)=F^(0)(x)=0!
F(x)=xの場合  F^(1)(x)=F'(x)=1=1!
F(x)=x^2の場合   F''(x)=F^(2)(x)=2=2!
F(x)=x^3の場合  F'''(x)=F^(3)(x)=(3x^2)''=3*2(x')=3!
などのような例が良いでしょう。

> また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？
上の公式はx^nをn回微分した場合の公式ですから、質問のポイントがずれていませんか？
n=-2のとき
F(x)=x^(-2)
となりますがF(x)を「-2」回微分したり
n=2/3のとき
F(x)=x^(2/3)
に対してn=2/3回微分して
意味がありますか？

x^kをn回微分することとこんがらかって見えるようですね。

高階導関数について

#1です。

>F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』とあったのですが、理解できませんでした。

> 『F(x)=X^n (n:自然数)のとき…F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』

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