トポロジーのコンパクト性

Question

トポロジーにおけるコンパクト性って何ですか？
わからなくて困っています、教えてください。

stomachman · Accepted Answer

三たび、stomachmanです。
「位相」という言い方をした前科のある奴(livermanとしましょう)に議論をふっかけて、stomachmanとlivermanが勝手に「再構成」した「テツガク的用語」としての「位相」の意味。（従って問題の著者や哲学界一般での用法、位相と一致しているとはとても思えません。）「」は全て、比喩的に導入した用語の事です。

　物事や問題やその他、議論の対象を「点」とみなす。だって『問題点』とか言うじゃないか。「点」は単独では意味を持たない。必ずそれに関連する様々な別の「点」があり、沢山の「点」の関連の「網目」の中で相対的に意味が出て来る。だから問題にしている「点」の周りにどんな「網目」を想定しているか、によってその「点」が置かれていると考える「網目」の構造が異なる。
　この「点」が近くにある他の「点」とどんな関連を持っているか、その繋がり方、これを（位相空間からのアナロジーで）「位相」と言ってみる。だから『こういう位相で問題を捉える』という言い方は『他の問題との関連をこのように考える』という意味であり、従って単に『観点』と言い換えて全く差し支えない。
　ある「点」から「遠い」点も「近い」点もある。「近さ」を測る何か「距離」のようなものが考えられる場合もあるだろう。また「点」は必ずしも「離散的」ではない。場合によってはその「点」から微妙にずれた「点」というものが「幾らでも」考えるられるかも知れない。従って「点」と「点」の間に「隙間」がない「稠密な」「網目」というものもアナロジーとして考え、こういった無限の「点」の集まりの「網目」が「総体として自己完結的」であるような、そういう状態を「コンパクト」と言ってみよう。必ずしも単に小さな円盤、というような単純な「構造」をしておらず、もう少し大局的に見ると、あちこちに思いがけない「抜け道」、「トンネル」、「草っ原」（＜なんでやねん）があって、摩訶不思議な「迷路」になって「絡み」合っているだろう。この複雑な構造を持つものを（位相幾何学の多様体のアナロジーとして）問題の「多様体」と言ってみたり、その構造を「トポロジー」と呼んでみる。
　このような「トポロジー」的な用語って、何かを生み出すのであろうか。問題が個別に意味を持っているうちは、系統的に「多様体」を分類出来るわけがない。逆に、もし本当にコンパクト性を示せたら十把一絡げに有限の議論で無限個の「点」を処理してしまえる。それは個別の問題の中身を一切捨象して初めて可能である。問題「点」そのものを論じた議論としては、抽象的すぎる空論、議論のための議論、であり意味がない。しかし全く意義がないかと言うとそうでもなく、むしろ議論の形式の分類をやっている訳で、これは一種の論理学に他ならない。（実はこのへんを本気で数学として扱おうという新興分野として、情報幾何学があります。その中身については不勉強で...ごめんなさい。）
　『君が言っている議論は、ＸＸと全く同じトポロジーを持っている』なんて、『議論の構造が似ている気がする』の意味で言うのが大抵の場合だろう。だけど本当に同型写像（isomorphism）が定義できる場合もないとは限らない。ある一冊の本の用語を全て系統的に書き換えて、（例えば「笑い」「人間」....を「らっきょ」「たらこ」....と書き換えて）それでもし本全体の辻褄が合ってしまえば、両者は同じ「トポロジー」を持っている議論だと言っちゃって良いんじゃないか？従って、議論にまつわる様々なイメージ、背景知識というものを論者と読者が暗に共有していると仮定せずに、問題の「点」にまつわる「網目」全体を主題化して、一切の先入主を断ち切った本がもし書けたとするなら、真に抽象的な議論が可能だ。
　これを実際やっているのが数学で、そこで言う『数学的対象』は未定義のままである。だからこそ現実の問題と対応を付けることによって、現実の『ケーキをどうやって分けるか』なんて問題を数学の中に「同型写像」として写し、そこで問題を解いて、再び現実の『分け方』に戻ってくることができる。（もう少し制限を緩やかにして、かつ現代風に言いいたいなら、圏論の言葉を使って「射」だとか「pull back」だとか言ってみると、きっと相手は韜晦されて目を白黒するぞ。）
　このへんで議論が発散してダウンしました。

stomachman · Answer

再びstomachmanです。
　まさか哲学の話とは思いもよらず、あの、アレでした。oodaiko先生がお出ましなので、なおさらアレですけど(^^;
　で、哲学的文脈におけるコンパクト性とは何か。
　この場合、位相数学をホンマモンの形而上学とみなしている訳じゃなくて、単にアナロジーとして言っている可能性がある。だから、かなりいい加減に感覚的に解釈したらどうなるのか。何が連想できそうか。もうこれは数学じゃないので、oodaiko先生、ひとつ目をつぶってて下さいな。（目に余る？すいません）

(1) コンパクトな集合の中から選んだ適当な無限点列の極限として、何も新しいものは出てこない。極限に答があるなら、必ず元の集合の中に初めからある。そういう意味で閉じている。付け加えるものはない。完成している。自己充足的。まとまってる。発展しない。終わっている。つまらん。そういう性質。まさに「コンパクト」とは良くぞ言ったと思います。

(2) コンパクトだと「連続的」というべきか「点と点の間に隙間がない」というべきか、何だかつるんとした断片のようなもの。こういうコンパクト集合をぺたぺた貼り付けて並べていく。ぺたとくっつけると、全体としてコンパクトになることはoodaiko先生のご回答通り。どんどん繋いで延ばしていく。ぺたを一つづつ辿って行く分には、局所しか見てないから、全体の形が歪もうが捻れようが関係ない。しかし例えば小さい円盤を貼り続けてとうとう球面にしちゃったときと、ドーナツ面にしたときと、変にひねってクラインの壺にしたときとでは、その面上での幾何学の性質が違ってきますヨ、というような所から位相幾何の話を始めることができます。
　つまり全体を、ひとつの完成されたへんてこな空間（多様体）として閉じた時のよじれ具合が、ぺただけ見ていたのではなかなか分からない性質を発生させる。謂わば、ぺたを素材にしていろんな空間が作れる訳です。ぺたぺた貼る所が位相幾何学のひとつの特徴じゃないでしょうか。こっちの意味かな？

(3) 比喩ですらない、著者の感覚で選んだ言葉。従って読者から見れば単なる無定義用語であり「ケメソ」と言い換えても同じ事。「コンパクト」の何たるかは文脈から読みとってイメージするしかない。これもありそうな話ですが、「コンパクト」がそう何度も出てこないから困っていらっしゃるんでしょうし... 「ＸＸに関する観点」という代わりに「ＸＸの位相」なんて、よく見かけますもんね。哲学やってる人に分からないもの、文脈から切り離したらなおさら分からないのは当たり前。だとすれば、同じ先生の別の著書を調べるしかないのかな。stomachmanならすっ飛ばして読んでるところですけどねえ。（＜いつもイー加減だから！）

oodaiko · Answer

哲学の本ですか。
>哲学の文脈で、断層ほどコンパクトなものはないうんぬん、と
というのがどういう意味かさっぱり分からないのですが、これは哲学の本ですか。
よろしければ原文をもうすこし長めに（文脈が分かる程度に）引用するか、
その文が書かれている本の題名を教えていただけないでしょうか。
もう少し詳しく分かれば著者の意図に沿った内容の回答が出来ると思います。
こんな言い方をすると失礼かも知れないけどそういう哲学系の本の中には、
たぶん著者自身きちんとした数学的定義や意味などわかっておらず、単に感覚的な意味で
（または文章を権威付けたり小難しく見せようとして？）数学の言葉を使っている
ものもあります。

とりあえずトポロジーにおける「コンパクト」の解説をしてみましょう。
以下に書くことは「コンパクト集合」についての解説です。
数学的には正確な記述でないので御了承下さい。

コンパクトと言うのは集合の性質に対する概念で、「コンパクトな位相空間」
「コンパクト集合」などと言う風に使います。
「コンパクトな集合」いう概念を感覚的な言葉で言えば

大きさが有限であり、かつ’中身’だけでなく’皮’をもっている集合

と言う感じでしょうか。
数学の言葉で言えば
「位相空間における有界閉集合」
です。

注：実はこれでも数学的に正確な定義ではありません
コンパクト集合＝有界閉集合
と言う等式は一般の位相空間では成立しません。
しかし、実用的に使われる多くの位相空間では上の等式が成り立つので実質的には
コンパクト集合＝有界閉集合
としておいても構いません。またコンパクトと言う言葉を感覚的に使う人も
そういうイメージでとらえているのだと思います。

「有界集合」とはその集合の中の２つの点の距離の最大値が有限になるような集合です。
また「閉集合」とはその集合の境界と内部を両方とも持っている集合です。
内部だけ持っている集合は「開集合」といいます。
で「有界閉集合」とは「有界集合」であり、かつ「閉集合」であるような集合のことです。

本質は何次元でも同じですので、分かりやすくするため２次元の空間で考えます。
２次元の空間になにか閉じた曲線（閉曲線）を描きます。例えば適当な円か多角形を
書いたと考えて下さい。このときこの書かれた閉曲線の内側の部分と閉曲線自身を
合わせた集合は「有界閉集合」すなわち「コンパクト集合」です。
このような集合は１つである必要はありません。たとえば２つの重ならない閉曲線を
書いて、それらのつくる２つの閉集合を１つの集合とみなした場合でも
その集合はコンパクトであると言えます。一般にはコンパクトな集合を有限個集めて
ひとまとめにした集合もやはりコンパクト集合です。
（ただし無限個集めるとコンパクトにならない場合があります。）

逆に開集合はコンパクトではありません。どんなに小さい円でもその境界部分を
取り除いた中身だけの集合は開集合になるのでこれはコンパクトとは言いません。

実用的にはコンパクト集合の何がありがたいのかと言うと
（１）コンパクト集合から実数への連続関数はかならず最大値と最小値を持つ。
（２）コンパクト集合上の点列はその集合上のある点に収束する部分列を持つ。
という性質でしょう。

で、まとめとしてコンパクト性の本質を感覚的に言えば
「それ自身で閉じた世界を作ることが出来る」
「本質的な有限性をもつ」
という２つのことが挙げられます。

なにやらとりとめのない文章になってしまいましたが、
数学的にきちんとした定義や意味づけなどを理解したい
ということであれば補足要求をして下さい。

siegmund · Answer

siegmund です．

stomachman さんの回答見て気づきましたが，
質問はトポロジーでもおかしくないですね．
広義のトポロジーだと思えばいいですか(もうボロが出始めています)
普通は単にトポロジーと言うと，狭い意味で「位相幾何学」を指しますけどね．

minorinko さんは哲学の学生さんですか．
いやあ，哲学も集合論まで出てくるとなると大変ですね．
でも，哲学者で数学者という人はかなりいましたか．
すぐ思いつくだけでも，ピタゴラス，プラトン，アリストテレス，
パスカル，デカルト，ライプニッツ，ニュートン，フレーゲ，
ホワイトヘッド，ラッセル，ブローエル，など．
あ，こういうことはそれこそ minorinko さんの方が詳しいですね．
ボロが出ないうちにやめましょう．

普通の３次元空間では，空間の点がその要素になっていて，
点の間の距離が √{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2} で表されます．
１次元空間なら，|x1-x2| が距離ですね．
で，２つの点の間の距離が近いとか，２の点が近づく，などといいますね．
また，点が連続的に分布している，点Ａを点Ｂに近づけた極限，などともいいます．
これを一般の集合に拡張して，集合の構成要素間に「距離みたいなもの」を
与えた構造を「位相」と言っています．

コンパクトは連続性の拡張みたいな概念です．
例えば， Bolzano‐Weierstrass の集積点定理は
「閉区間Ｓの任意の無限部分集合は少なくとも一つの集積点をＳの中に持つ」で
こういう性質をコンパクト性といっています．
他にもコンパクト性の表現の仕方はあります．

普通の１次元空間(数直線)で説明しましょう．
例えば [0,1] の閉区間をＳとします．
(両端の０と１を含んでいることに注意)．
1/n 全体(n = 1,2,3,...)の集合ＡはＳの部分集合で要素は無限個あります．
すなわち，ＡはＳの無限部分集合です．
で，０(ゼロ)はＡの集積点になっています．
集積点とは，粗くいえばＡの要素が０の近くにぎゅうぎゅう詰まっていること．
もう少し正確に言えば，０の任意近傍にＡの要素が存在する，ということ．
で，０はＡの集積点になっているか？ そりゃなっていますよ．
いくら０に近い点ｘ(正の側)をとっておいても，
ｎを十分大きくすれば０とｘの間に 1/n が入ります．
閉集合にして端の０を入れておかないと，集積点がＳに含まれなくなります．

つまり，数直線，平面，３次元空間，などのユークリッド距離空間では，
有界閉集合であることと，コンパクトであることとは同値です．

上の例を，一般の集合と「距離の一般化」に拡張した概念がコンパクト性です．

私のコンパクト性に対する理解は以上のようなものです．
私は物理屋で数学者じゃありませんので，
上の説明にはもしかしたら誤りがあるかも知れません．
数学専門の方，適切なフォローいただければ幸いです．

stomachman · Answer

レポートかな？
　Topologyって、普通は「位相幾何学」と訳します。もちろん、位相空間などの代数構造を云々するのも広義のtopologyで、siegmund先生が仰ってるのはこの線ですね。ひっくるめておおざっぱに、連続写像の性質を研究するもんだ、という言い方はどうでしょうか。だからコンパクト性とは不可分。
　良くは知りませんが、組み合わせ論的なトポロジーって、大昔は対象を多面体ぐらいに限っていたんですが、一般のコンパクト空間等に話を広げだした。つまりコンパクトな距離空間へ収束する多面体列、みたいな概念からコホモロジーへ持っていったようです。コンパクト空間に対するホモロジー。で、微分位相幾何学、たとえばThomのカタストロフィーなんかもここだと思うんですが、これは微分可能連続写像の話ですね。
　コンパクト性の概念て、その親戚まで含めるとホントにいろいろあるので、精密な話は個別の問題で議論しなくちゃいけないと思います。

siegmund · Answer

トポロジー？
もしかして，topological space (位相空間)におけるコンパクト性，のつもり？
私は物理屋なので，ハズシていたら失礼．

数学科の学生さん？
それなら，こういう話は私よりできるはずですが...

一番のもとは，Heine-Borel の被覆定理でしょう．
あとは，Bolzano‐Weierstrass の集積点定理とか，
S の任意の点列から Sの点に収束する部分列をとり出すことができるとか，
空でない閉集合列 An が順次前のものに含まれるときの共通部分の話とか，
そういうところだと思いますが．

位相空間関係の本を見てくださいよ．

トポロジーのコンパクト性

三たび、stomachmanです。

再びstomachmanです。

哲学の本ですか。

siegmund です．

レポートかな？

トポロジー？

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　再びstomachmanです。