偏微分の定義と意味とは…？

偏微分の定義と意味って何ですか??

たとえば、
「微分とは違い、微分文字以外の文字を定数として計算するというのが偏微分である」
というのは「意味」ですか？

No.3 回答者： BASKETMM 回答日時： 2008/07/13 07:47

山があった時、富士山でも、槍岳でもよいのですが、これを東西方向（Ｘ方向）の大きな包丁で緯度線に沿って切り取ります。

この時現れた断面輪郭線の傾きが、∂ｚ／∂ｘです。
今度は山を南北方向（Ｙ方向）の包丁で経度線に沿って切り取りましょう。この時の傾きが∂ｚ／∂ｙです。

こんな簡単な説明でよいでしょうか。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/12 14:48

こんにちは。

「微分とは違い、微分文字以外の文字を定数として計算するというのが偏微分である」
は、意味ではなく、定義です。

では、偏微分の意味とは何ぞや、ということになりますが、
私は数学の専門家ではありませんので、純粋に数学的な「意味」があるのかどうかは知りません。

物理学への応用として、私が印象に残っているのは、

１．古典電磁気学の全てを表す「マクスウェルの４つの方程式」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF% …
ちなみに、∇（ナブラ）とは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E2%88%87

２．拡散
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E6%95%A3% …

３．熱伝導
http://www.md.ams.eng.osaka-u.ac.jp/~nakatani/Le …

です。


また、
私は、かつて、仕事でデータの統計処理をする際に、偏微分を使ったこともあります。
表計算ソフトに、二次関数以上への最小二乗法の機能がなかった時代、自分でマクロを作りました。
考え方としては、こうです。
（ｘ１、ｙ１）、（ｘ２、ｙ２）、（ｘ３、ｙ３）・・・・・（ｘｎ、ｙｎ）
というデータがあるとき、これらをプロットしたグラフを
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
という二次関数に近似することを考えます。
データ（ｘｋ、ｙｋ）が二次関数から外れる度合いεは、
ε　＝　ａｘｋ^2　＋　ｂｘｋ　＋　ｃ　－　ｙｋ
です。
二乗和は、
Ｓ　＝　Σεｋ^2　＝　Σ（ａｘｋ^2　＋　ｂｘｋ　＋　ｃ　－　ｙｋ）^2
なお、Σは、Σ[k=1→n]　のことです。
Ｓを最小にすれば、最小二乗法ができたことになります。
ｘｋ、ｙｋは、文字からして一見変数のようですが、データなのですから定数です。
逆に、ａ、ｂ、ｃが変数であるわけです。
ですから、Ｓは、ａ、ｂ、ｃという３つの変数を持った関数です。
Ｓを最小（つまり極小）にすればよいのですから、
ａ、ｂ、ｃそれぞれに対して、すべてＳが極小になればよいわけです。
つまり、
∂Ｓ／∂ａ、∂Ｓ／∂ｂ、∂Ｓ／∂ｃ　という偏微分を実行して、その後に
∂Ｓ／∂ａ　＝　０
∂Ｓ／∂ｂ　＝　０
∂Ｓ／∂ｃ　＝　０
という連立方程式を解けば、二次関数への最小二乗法ができたことになります。


以上、偏微分の「物理的意味」や「実用面での意味」について述べさせえていただきました。
ご参考になりましたら。

No.1 回答者： mar0325 回答日時： 2008/07/12 14:06

1変数の微分の場合,関数のある点の傾きを表しますが.

2変数以上の場合には,傾きを求めようとするといくつかの候補がでてきます.
従って,微分しようとしている変数以外を止めた状態で微分を行う偏微分がでてきたかと思います.(微分しようとする変数以外は可変ですので,算出される偏導関数も関数の形になっています.)