No.5ベストアンサー
- 回答日時:
誤った回答をしたため、きちんと調べました。
実数xに対して
1+x≦e^x
が成り立つから(微分せよ)
1-1/k≦e^{-1/k}
k=2,4,6… と辺々をかけると
0≦(1-1/2)(1-1/4)…(1-1/2n)≦e^{-1/2(1+1/2+…1/n)} …(ア)
(ア)において n→∞ とすると 右辺→0 となるから Π(n=1~∞)(1-1/2n)は0に発散する。
No.4
- 回答日時:
#2です。
計算ミスがありましたね。#2と#3の回答は取り消します。修正したら示せそうなのですけどね…。もう少し考えてみます。
正答は無限大に発散することは変わらないでしょう。
No.3
- 回答日時:
こんばんは。
>すいませんが…
>=(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
>=(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
>になった経緯がよくわからないのですが…?
(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
分子は奇数の積、分母は偶数の積。階乗にするために奇数の間に偶数を挿入すると…。
実際に紙に書いて、計算してみてください。
理解できました!
分子に偶数の2nをかけるから分母にも偶数をかけて、全てが2乗になるわけですね!
とても参考になりました!
ありがとうございます。
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
答えを直接教えるのは禁止事項なので、考え方だけ。無限回かけ算することはできないのでn個かけて、その結果を∞に飛ばすことを考えます。
(1-1/2)(1-1/4)…(1-1/2n)
=1/2・3/4…(2n-1)/2n
=(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
=(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
=(2n)!/{2^2・(n!)^2}
=(n+1・n+2…2n)/(4・n!)
=1/4・n+1/1・n+2/2…2n/n …(ア)
となります。(ア)でn→∞とするとどうなりますか?
※計算間違いしていたらゴメンナサイ。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
すいませんが…
=(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
=(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
になった経緯がよくわからないのですが…?
分母分子に2nをかけたと考えるのですか?
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